（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 A B C-A_…——2013 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（I）在平面 $A B C$ 内，过点 $P$ 作直线 $l / / B C$；（II）$\frac{\sqrt{15}}{5}$
【解析】（I）如图，在平面 $A B C$ 内，过点 $P$ 作直线 $l / / B C$，因为 $l$ 在平面 $A_{1} B C$ 外，$B C$ 在平面 $A_{1} B C$ 内，由直线与平面平行的判定定理可知，$l / /$ 平面 $A_{1} B C$，

由已知 $A B=A C, D$ 为线段 $B C$ 的中点，
所以，$B C \perp A D$，则直线 $l \perp A D$．
因为 $A A_{1} \perp$ 平面 $A B C$，所以 $A A_{1} \perp$ 直线 $l$，

又因为 $A D, A A_{1}$ 在平面 $A D D_{1} A_{1}$ 内，且 $A D$ 与 $A A_{1}$ 相交，
所以直线 $l \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$． $\_\_\_\_$ 4 分
（ II ）解法一：
连接 $A_{1} P$，过 $A$ 作 $A E \perp A_{1} P$ 于 $E$，过 $E$ 作 $E F \perp A_{1} M$ 于 $E$，连接 $A^{E}$．
由（I）知，$M N \perp$ 平面 $A E A_{1}$，所以平面 $A E A_{1} \perp$ 平面 $A_{1} M N$．
所以 $A E \perp$ 平面 $A_{1} M N$，则 $A M_{1} \perp A E$．
所以 $A_{1} E \perp$ 平面 $A E F$，则 $A M_{1} \perp A F$．
故二面角 $A-A_{1} M-N$ 的平面角为 $\angle A F E$（设为 $\theta$ ）．

设 $A A_{1}=1$，则由 $A B=A C=2 A A_{1}, \angle B A C=120^{\circ}$，有 $\angle B A D=60^{\circ}, A B=2, A D=1$．
又 $P$ 为 $A D$ 的中点，所以 $M$ 为 $A B$ 的中点，且 $A P=\frac{1}{2}, A M=1$，

所以，在 Rt $\Delta A A_{1} P$ 中，$A_{1} P=\frac{\sqrt{5}}{2}$；在 Rt $\Delta A A_{1} M$ 中，$A_{1} M=2$．
从而 $A E=\frac{A A_{1} \cdot A P}{A_{1} P}=\frac{1}{\sqrt{5}}, A F=\frac{A A_{1}}{A_{1}} \cdot \frac{A M}{M}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
所以 $\sin \theta=\frac{A E}{A F}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}, \cos \theta=\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}=\frac{\sqrt{15}}{5}$
故二面角 $A-A_{1} M-N$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$．

## 解法二：

设 $A A_{1}=1$．如图，过 $A_{1}$ 作平行于 $B_{1} C_{1}$，以 $A_{1}$ 为坐标原点，分别以 $A_{1} E, A_{1} D, A_{1} A$ 的方向为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $A_{1}-x y z$。

则 $A_{1}(0,0,0), A(0,0,1)$．
因为 $p$ 为 $A D$ 的中点，所以 $M, N$ 分别为 $A B, A C$ 的中点．
故 $M\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 1\right), N\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$，

所以 $\overrightarrow{A_{1} M}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 1\right), \overrightarrow{A_{1} A}=(0,0,1), \overrightarrow{N M}=(\sqrt{3}, 0,0)$．
设平面 $A A_{1} M$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_{1}}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$，则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{1}} \perp \overrightarrow{A_{1} M}, \\ \overrightarrow{n_{1}} \perp \overrightarrow{A_{1} A},\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{A_{1} M}=0, \\ \overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{A_{1} A}=0,\end{array}\right.$
故有 $\left\{\begin{array}{l}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)=0, \\ \left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \cdot(0,0,1)=0,\end{array}\right.$，从而 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}}{2} x_{1}+\frac{1}{2} y_{1}+z_{1}=0, \\ z_{1}=0 .\end{array}\right.$
取 $x_{1}=1$，则 $y_{1}=-\sqrt{3}$，所以 $\overrightarrow{n_{1}}=(1,-\sqrt{3}, 0)$．
设平面 $A_{1} M N$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_{2}}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$，则
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{2}} \perp \overrightarrow{A_{1} M}, \\ \overrightarrow{n_{2}} \perp \overrightarrow{N M},\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_{2}} \cdot \overrightarrow{A_{1} M}=0, \\ \overrightarrow{n_{2}} \cdot \overrightarrow{N M}=0,\end{array}\right.$

故有 $\left\{\begin{array}{l}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)=0, \\ \left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \cdot(\sqrt{3}, 0,0)=0,\end{array}\right.$
从而 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}}{2} x_{2}+\frac{1}{2} y_{2}+z_{2}=0, \\ \sqrt{3} x_{2}=0 .\end{array}\right.$
取 $y_{2}=2$，则 $z_{2}=-1$，所以 $\overrightarrow{n_{2}}=(0,2,-1)$．

设二面角 $A-A_{1} M-N$ 的平面角为 $\theta$，又 $\theta$ 为锐角，
则 $\cos \theta=\left|\frac{\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|}\right|=\left|\frac{(1,-\sqrt{3}, 0) \cdot(0,2,-1)}{2 \cdot \sqrt{5}}\right|=\frac{\sqrt{15}}{5}$，
故二面角 $A-A_{1} M-N$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$．

【考点定位】本小题主要考查本作图、线面的平行与垂直、二面角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决立体几何问题的能力。证明直线 $l \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ 时，条件书写不完整；指出 $\angle A F E$ 为二面角 $A-A_{1} M-N$ 的平面角，但没有给出完整的证明，只作不证！