19．（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C$ 中，侧棱 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C, A B=A C=2 A A_{1}$， $\angle B A C=120^{\circ}, D, D_{1}$ 分别是线段 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$ 是线段 $A D$ 的中点．
（I）在平面 $A B C$ 内，试作出过点 $P$ 与平面 $A_{1} B C$ 平行的直线 $l$，说明理由，并证明直线 $l \perp$平面 $A D D_{1} A_{1}$；
（II）设（I）中的直线 $l$ 交 $A B$ 于点 $M$，交 $A C$ 于点 $N$，求二面角 $A-A_{1} M-N$ 的余弦值．
参考答案（I）在平面 $A B C$ 内，过点 $P$ 作直线 $l / / B C$；（II）$\frac{\sqrt{15}}{5}$