（12分）（2009•陕西）如图所示，在直三棱柱 ABC…——2009 高考数学第 19 题答案解析

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）欲证 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ，而 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CC} \subset$ 平面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1}$ ，可先证 $\mathrm{AB} \perp$ 平面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1}$ ，根据三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 为直三棱柱，可知 $A B \perp A A_{1}$ ，由正弦定理得 $A B \perp A C$ ，满足线面垂直的判定定理所需条件；
（2）作 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ 交 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ 于 D 点，连接 BD ，由三垂线定理知 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ，则 $\angle \mathrm{ADB}$ 为二面角 A $-\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}-\mathrm{B}$ 的平面角，在Rt $\triangle \mathrm{BAD}$ 中，求出二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}-\mathrm{B}$ 的余弦值即可。
【解答】解：（1）证明：∵ 三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 为直三棱柱，$\therefore \mathrm{AB} \perp \mathrm{AA}_{1}$ ，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， A $B=1, A C=\sqrt{3}, \angle A B C=60^{\circ}$ ，由正弦定理得 $\angle A C B=30^{\circ}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}$ ，即 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AC}$ ，
$\therefore \mathrm{AB} \perp$ 平面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1}$ ，
又 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \subset$ 平面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1}$ ，
$\therefore \mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ．
（2）如图，作 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ 交 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ 于 D 点，连接 BD ，
由三垂线定理知 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{ADB}$ 为二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}-\mathrm{B}$ 的平面角．
在 $\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{AA}_{1} \mathrm{C}$ 中， $\mathrm{AD}=\frac{\mathrm{AA}_{1} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}}=\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，

在Rt $\triangle \mathrm{BAD}$ 中， $\tan \angle \mathrm{ADB}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AD}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，
$\therefore \cos \angle \mathrm{ADB}=\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，
即二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}-\mathrm{B}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ．

【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题。