2009 ??高考数学 2009_退役省自主命题 (2009·文) 第 19 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

19．（12分）（2009•陕西）如图所示，在直三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中， $\mathrm{AB}=1, \mathrm{AC}=\mathrm{AA}_{1}= \sqrt{3}, \angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}$ ．
（1）证明： $\mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ；
（2）求二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}-\mathrm{B}$ 的余弦值。
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Accepted Answer

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定． 【专题】计算题；证明题． 【分析】（1）欲证 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ，而 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{CC} \subset$ 平面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1}$ ，可先证 $\mathrm{AB} \perp$ 平面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1}$ ，根据三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 为直三棱柱，可知 $A B \perp A A_{1}$ ，由正弦定理得 $A B \perp A C$ ，满足线面垂直的判定定理所需条件； （2）作 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ 交 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ 于 D 点，连接 BD ，由三垂线定理知 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ，则 $\angle \mathrm{ADB}$ 为二面角 A $-\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}-\mathrm{B}$ 的平面角，在Rt $	riangle \mathrm{BAD}$ 中，求出二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{C}-\mathrm{B}$ 的余弦值即可。 【解答】解：（1）证明：∵ 三棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 为直三棱柱，$	herefore \mathrm{AB} \perp \mathrm{AA}_{1}$ ，在 $	riangle \mathrm{ABC}$ 中， A $B=1, A C=\sqrt{3}, \angle A B C=60^{\circ}$ ，由正弦定理得 $\angle A C B=30^{\circ}$ ， $	herefore \angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}$ ，即 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{AC}$ ， $	herefore \mathrm{AB} \perp$ 平面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1}$ ， 又 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{C} \subset$ 平面 $\mathrm{ACC}_{1} \mathrm{~A}_{1}$ ， $	herefore \mathrm{AB} \perp \mathrm{A}_{1} \mathrm{C}$ ．…

2009 高考数学第 19 题答案解析

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