（5分） (2009 · . 陕西）若 3 sin α+c…——2009 高考数学第 5 题答案解析

【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．
【专题】计算题．
【分析】首先考虑由 $3 \sin \alpha+\cos \alpha=0$ 求 $\frac{1}{\cos ^{2} \alpha+\sin 2 \alpha}$ 的值，可以联想到解 $\sin \alpha, \cos \alpha$ 的值 ，在根据半角公式代入直接求解，即得到答案．
【解答】解析：由 $3 \sin \alpha+\cos \alpha=0 \Rightarrow \cos \alpha \neq 0$ 且 $\tan \alpha=-\frac{1}{3}$
所以 $\frac{1}{\cos ^{2} \alpha+\sin 2 \alpha}=\frac{\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha}=\frac{1+\tan ^{2} \alpha}{1+2 \tan \alpha}=\frac{10}{3}$
故选A．
【点评】此题主要考查同角三角函数基本关系的应用，在三角函数的学习中要注重三角函数一系列性质的记忆和理解，在应用中非常广泛。