（16）（本小题满分 12 分） 设函数 f(x)=sin…——2013 高考数学第 16 题答案解析

【答案】①$f(x)=\sin x+\sin x \cos \frac{\pi}{3}+\cos x \sin \frac{\pi}{3}$

$$ \begin{aligned} & =\sin x+\frac{1}{2} \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x=\frac{3}{2} \sin x+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \\ & =\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3} \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \end{aligned} $$

当 $\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=-1$ 时，$f(x)_{\min }=-\sqrt{3}$，此时 $x+\frac{\pi}{6}=\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi, \therefore x=\frac{4 \pi}{3}+2 k \pi,(k \in Z)$
所以，$f(x)$ 的最小值为 $-\sqrt{3}$，此时 $x$ 的集合 $\left\{x \left\lvert\, x=\frac{4 \pi}{3}+2 k \pi\right., k \in Z\right\}$．
②$y=\sin x$ 横坐标不变，纵坐标变为原子 + 古 $\sqrt{3}$ 婄，得 $y=\sqrt{3} \sin x$；
然后 $y=\sqrt{3} \sin x$ 向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，得 $f(x)-\sqrt{3} \sin \left(x \div \frac{\pi}{6}\right)$
【解析】（1）利用两角的和差公式，辐的角公式嚎三角函粼诚 $y=A \sin (\omega x+\varphi)$，若 $A>0$ 时，当 $\omega x+\varphi=\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi$ 时取最小值；（2）要熟练平移变换，伸缩变换．
【考点定位】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换。考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度。

## （17）（本小题满分 12 分）

为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取 30 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：

（I）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（II）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 $\overline{x_{1}}, \overline{x_{2}}$，估计 $\overline{x_{1}}-\overline{x_{2}}$ 的值。

【答案】①$\frac{30}{n}=0.05 \Rightarrow n=\frac{30}{0.05}=600$

$$ p=\frac{25}{30}=\frac{5}{6} $$

②$x_{1}=\frac{7+40+13+50 \times 4+24+60 \times 9+26}{30}+\frac{70 \times 9}{22+80 \times 5+2+90 \times 2}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{2084}{30} \\ x_{2} & =\frac{5+40+14+50 \times 3+17+60 \times 10+33+70 \div 10+20+80 \times 5+90}{30} \\ & =\frac{2069}{30} \\ x_{2} & -x_{1}=\frac{2084}{30}-\frac{2069}{30}=\frac{15}{30}=0.5 \end{aligned} $$

【解析】（1）要能读懂茎叶图，处在中问位置的「十位数，限据题中所给的概率，可以求出高三年级的总人数，再将 60 分及 60 分以上为及格的人数除以总人数；（2）求出甲乙的平均数即可，作差，但需要注意计算时的一些技巧，一定要到最后一步才把分数化成小数。
【考点定位】考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想性以及数据分析处理能力。

## （18）（本小题满分 12 分）

如图，四棱锥 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 2 的菱形，$\angle B A D=60^{\circ}$。已知 $P B=P D=2, P A=\sqrt{6}$．
（ I ）证明：$P C \perp B D$

（II）若 $E$ 为 $P A$ 的中点，求三菱雉 $P-B C E$ 的体积．

## 【答案】

①证明：连接 $B D, A C$ 交于 $O$ 点

$$ \because P B=P D \quad \therefore P O+B D $$

又 $\because A B C D$ 是菱所 $\therefore B D-A C$
而 $A C \cap P O=O \quad \therefore B D \perp$ 面 $P A C \quad \therefore B D \perp P C$
②由①$B D \perp$ 面 $P_{-1} C$

$$ \begin{aligned} & S_{\triangle P E C}=\frac{1}{2} S_{\triangle P A C}=\frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times 2 \sqrt{3} \times \sin 45^{\circ}=\sqrt{6} \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=3 \\ & V_{P-B E C}=V_{B-P E C}=\frac{1}{2} \cdot S_{\triangle P E C} \cdot B O=\frac{1}{3} \times 3 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{aligned} $$

【解析】（1）证明线线垂直，需要线面垂直证起；②$\triangle P A C$ 的面积是 $\triangle P E C$ 的面积的 2 倍，$B D$是 $B$ 点到面 $P E C$ 的高，求出面积和高，即能求出最终的体积．
【考点定位】考查空间直线与直线，直线与平面的位置，．三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念，推理论证能力和运算能力。