17．如图，在四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A_{1} A \perp$ 底面 $A B C D, A B \perp A C, A B=1, A C=A A_{1}=2, A D=C D=\sqrt{5}$ ，且点 $M$ 和 $N$ 分别为 $B_{1} C$ 和 $D_{1} D$ 的中点．
（ I ）求证：$M N \|$ 平面 $A B C D$ ；
（II）求二面角 $D_{1}-A C-B_{1}$ 的正弦值；
（III）设 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点。若直线 $N E$ 和平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $A_{1} E$ 的长。
参考答案见解析 解析过程： 如图，以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系，  依题意可得 $A(0,0,0), B(0,1,0), C(2,0,0), D(1,-2,0)$ ， $A_{1}(0,0,2), B_{1}(0,1,2), C_{1}(2,0,2), D(1,-2,2)$. 又因为 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 分别为 $B_{1} C$ 和 $D_{1} D$ 的中点，得 $M\left(1, \frac{1}{2}, 1\right), N(1,-2,1)$ ． （ I ）证明：依题意，可得 $\vec{n}=(0,0,1)$ 为平面 $A B C D$ 的一个法向量． $\overline{M N}=\left(0,-\frac{5}{2}, 0\right)$ 。由此可得 $\overrightarrow{M N} \cdot \vec{n}=0$ ， 又因为直线 $M N \not \subset$ 平面 $A B C D$ ，所以 $M N / /$ 平面 $A B C D$ ． （ II ）解：$\overline{A D}_{1}=(1,-2,2), \overline{A C}=(2,0,0)$ ． 设 $\vec{n}_{1}=(x, y, z)$ 为平面 $A C D_{1}$ 的法向量，则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n}_{1} \cdot \overrightarrow{A D_{1}}=0, \\ \vec{n}_{1} \cdot \overrightarrow{A C}=0,\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}x-2 y+2 z=0, \\ 2 x=0 .\end{array}\right.$ 不妨设 $z=1$ ，可得 $\vec{n}_{1}=(0,1,1) \ldots$ 设 $n_{2}=(x, y, z)$ 为平面 $A C B_{1}$ 的法向量，则 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n}_{1} \bullet \overrightarrow{A B_{1}}=0, \\ \vec{n}_{1} \bullet \overrightarrow{A C}=0,\end{array}\right.$ 又 $\overrightarrow{A B_{1}}=(0,1,2)$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}y+2 z=0, \\ 2 x=0 .\end{array}\right.$ 不妨设 $z=1$ ，可得 $\vec{n}_{2}=(0,-2,1)$ ． 因此有 $\cos \left\langle n_{1}, n_{2}\right\rangle=\frac{\vec{n}_{1} \cdot \vec{n}_{2}}{\left|\vec{n}_{1}\right| \cdot\left|\vec{n}_{2}\right|}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，于是 $\sin \left\langle\vec{n}_{1}, \vec{n}_{2}\right\rangle=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ． 所以，二面角 $D_{1}-A C-B_{1}$ 的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ 。 （III）解：依题意，可设 $\overrightarrow{A_{1} E}=\lambda \overrightarrow{A_{1} B_{1}}$ ，其中 $\lambda \in[0,1]$ ， 则 $E(0, \lambda, 2)$ ，从而 $\overrightarrow{N E}=(-1, \lambda+2,1)$ ． 又 $n=(0,0,1)$ 为平面 $A B C D$ 的一个法向量， 由已知，得 $\cos \langle\overrightarrow{N E}, \vec{n}\rangle=\frac{\overrightarrow{N E} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{N E}| \cdot|\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{(-1)^{2}+(\lambda+2)^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{3}$ ， 整理得 $\lambda^{2}+4 \lambda-3=0$ ，又因为 $\lambda \in[0,1]$ ，解得 $\lambda=\sqrt{7}-2$ ． 所以，线段 $A_{1} E$ 的长为 $\sqrt{7}-2$ ．
