2018_新课标 I 卷 (2018·文)
22．（10分）在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的方程为 $y=k|x|+2$ ．以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}+2 \rho \cos \theta-3=0$
（1）求 $\mathrm{C}_{2}$ 的直角坐标方程；
（2）若 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 有且仅有三个公共点，求 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程。
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果
【解答】解：（1）曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的极坐标方程为 $\rho^{2}+2 \rho \cos \theta-3=0$ ．
转换为直角坐标方程为：$x^{2}+y^{2}+2 x-3=0$ ，
转换为标准式为：$(x+1)^{2}+y^{2}=4$ 。
②由于曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{k}|\mathrm{x}|+2$ ，则：该射线关于 y 轴对称，且恒过定点（0
，2）．
由于该射线与曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 的极坐标有且仅有三个公共点．
所以：必有一直线相切，一直线相交．
则：圆心到直线 $y=k x+2$ 的距离等于半径 2 ．
故：$\frac{|2-k|}{\sqrt{1+k^{2}}}=2$ ，或 $\frac{|2+k|}{\sqrt{1+k^{2}}}=2$
解得：$k=-\frac{4}{3}$ 或 0 ，（ 0 舍去）或 $k=\frac{4}{3}$ 或 0
经检验，直线 $y=\frac{4}{3} x+2$ 与曲线 $\mathrm{C}_{2}$ 没有公共点．
故 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程为：$y=\frac{4}{3}|x|+2$ ．
【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．