2020_新课标 II 卷 (2020)
15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示。 $O$ 为圆孔及轮廓圆弧 $A B$ 所在圆的圆心 ,$A$ 是圆弧 $A B$ 与直线 $A G$ 的切点，$B$ 是圆弧 $A B$ 与直线 $B C$ 的切点，四边形 $D E F G$ 为矩形，$B C \perp D G$ ，垂足为 $C$ ，
$\tan \angle O D C=\frac{3}{5}, B H / / D G, E F=12 \mathrm{~cm}, D E=2 \mathrm{~cm}, A$ 到直线 $D E$ 和 $E F$ 的距离均为 7 cm ，圆孔半径为 1 cm ，则图中阴影部分的面积为 $\_\_\_\_$ $\mathrm{cm}^{2}$ ．
【答案】 $4+\frac{5}{2} \pi$
## 【解析】
【分析】
利用 $\tan \angle O D C=\frac{3}{5}$ 求出圆弧 $A B$ 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形 $A O B$ 的面积，求出直角 $\triangle O A H$ 的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得．
【详解】设 $O B=O A=r$ ，由题意 $A M=A N=7, E F=12$ ，所以 $N F=5$ ，
因为 $A P=5$ ，所以 $\angle A G P=45^{\circ}$ ，
因为 $B H / / D G$ ，所以 $\angle A H O=45^{\circ}$ ，
因为 $A G$ 与圆弧 $A B$ 相切于 $A$ 点，所以 $O A \perp A G$ ，
即 $\triangle O A H$ 为等腰直角三角形；
在直角 $\triangle O Q D$ 中，$O Q=5-\frac{\sqrt{2}}{2} r, D Q=7-\frac{\sqrt{2}}{2} r$ ，
因为 $\tan \angle O D C=\frac{O Q}{D Q}=\frac{3}{5}$ ，所以 $21-\frac{3 \sqrt{2}}{2} r=25-\frac{5 \sqrt{2}}{2} r$ ，
解得 $r=2 \sqrt{2}$ ；
等腰直角 $\triangle O A H$ 的面积为 $S_{1}=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2}=4$ ；
扇形 $A O B$ 的面积 $S_{2}=\frac{1}{2} \times \frac{3 \pi}{4} \times(2 \sqrt{2})^{2}=3 \pi$ ，
所以阴影部分的面积为 $S_{1}+S_{2}-\frac{1}{2} \pi=4+\frac{5 \pi}{2}$ ．
故答案为： $4+\frac{5 \pi}{2}$ ．
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针．