2020_新课标 II 卷 (2020·理)
12．0－
1周期序列在通信技术中有着重要应用。若序列 $a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots$ 满足 $a_{i} \in\{0,1\}(i=1,2, \cdots)$ ，且存在正整数 $m$ ，使得 $a_{i+m}=a_{i}(i=1,2, \cdots)$ 成立，则称其为 $0-$
1 周期序列，并称满足 $a_{i+m}=a_{i}(i=1,2, \cdots)$ 的最小正整数 $m$ 为这个序列的周期。对于周期为 $m$ 的 0－
1 序列 $a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots, C(k)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} a_{i} a_{i+k}(k=1,2, \cdots, m-1)$ 是描述其性质的重要指标，下列周期为 5 的 $0-1$ 序列中，满足 $C(k) \leq \frac{1}{5}(k=1,2,3,4)$ 的序列是
A $11010 \cdots$
B． $11011 \cdots$
C． $10001 \cdots$
D． $11001 \cdots$
【答案】C
【解析】
【详解】由 $a_{i+m}=a_{i}$ 知，序列 $a_{i}$ 的周期为 $m$ ，由已知，$m=5$ ，
$C(k)=\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} a_{i} a_{i+k}, k=1,2,3,4$
对于选项 A ，
$C(1)=\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} a_{i} a_{i+1}=\frac{1}{5}\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{6}\right)=\frac{1}{5}(1+0+0+0+0)=\frac{1}{5} \leq \frac{1}{5}$
$C(2)=\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} a_{i} a_{i+2}=\frac{1}{5}\left(a_{1} a_{3}+a_{2} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{7}\right)=\frac{1}{5}(0+1+0+1+0)=\frac{2}{5}$ ，不满足
；
对于选项 B ，
$C(1)=\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} a_{i} a_{i+1}=\frac{1}{5}\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{6}\right)=\frac{1}{5}(1+0+0+1+1)=\frac{3}{5}$ ，不满足；
对于选项 D ，
$C(1)=\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} a_{i} a_{i+1}=\frac{1}{5}\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{6}\right)=\frac{1}{5}(1+0+0+0+1)=\frac{2}{5}$ ，不满足 ；
故选：C
【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题．