若 2^ a +log _ 2 a=4^ b +2 log…——2020 高考数学第 12 题答案解析

【答案】B

【解析】

【分析】
设 $f(x)=2^{x}+\log _{2} x$ ，利用作差法结合 $f(x)$ 的单调性即可得到答案。
【详解】设 $f(x)=2^{x}+\log _{2} x$ ，则 $f(x)$ 为增函数，因为
$2^{a}+\log _{2} a=4^{b}+2 \log _{4} b=2^{2 b}+\log _{2} b$
所以 $f(a)-f(2 b)=2^{a}+\log _{2} a-\left(2^{2 b}+\log _{2} 2 b\right)=2^{2 b}+\log _{2} b-\left(2^{2 b}+\log _{2} 2 b\right)$

$=\log _{2} \frac{1}{2}=-1<0$,
所以 $f(a)<f(2 b)$ ，所以 $a<2 b$ ．
$f(a)-f\left(b^{2}\right)=2^{a}+\log _{2} a-\left(2^{b^{2}}+\log _{2} b^{2}\right)=2^{2 b}+\log _{2} b-\left(2^{b^{2}}+\log _{2} b^{2}\right)= 2^{2 b}-2^{b^{2}}-\log _{2} b$,

当 $b=1$ 时，$f(a)-f\left(b^{2}\right)=2>0$ ，此时 $f(a)>f\left(b^{2}\right)$ ，有 $a>b^{2}$
当 $b=2$ 时，$f(a)-f\left(b^{2}\right)=-1<0$ ，此时 $f(a)<f\left(b^{2}\right)$ ，有 $a<b^{2}$ ，所以C、D错误．
故选：B．
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题．