（10分）如图， O 中 AB 的中点为 P，弦 PC ,…——2016 高考数学第 22 题答案解析

【考点】NC：与圆有关的比例线段．
【专题】35：转化思想；49：综合法； 5 M ：推理和证明．

【分析】（1）连接 $P A, P B, B C$ ，设 $\angle P E B=\angle 1, \angle P C B=\angle 2, \angle A B C=\angle 3, \angle P B A=\angle 4$ ，$\angle P A B=\angle 5$ ，运用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求 $\angle P C D$ 的度数；
（2）运用圆的定义和 $\mathrm{E}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ ， F 共圆，可得 G 为圆心， G 在 CD 的中垂线上，即可得证．

【解答】（1）解：连接 $P B$ ，$B C$ ，
设 $\angle \mathrm{PEB}=\angle 1, \angle \mathrm{PCB}=\angle 2, \angle \mathrm{ABC}=\angle 3$ ，
$\angle \mathrm{PBA}=\angle 4, \quad \angle \mathrm{PAB}=\angle 5$ ，
由 $\odot \mathrm{O}$ 中 $\widehat{\mathrm{AB}}$ 的中点为 P ，可得 $\angle 4=\angle 5$ ，
在 $\triangle \mathrm{EBC}$ 中，$\angle 1=\angle 2+\angle 3$ ，
又 $\angle \mathrm{D}=\angle 3+\angle 4, \angle 2=\angle 5$ ，
即有 $\angle 2=\angle 4$ ，则 $\angle \mathrm{D}=\angle 1$ ，
则四点 $E, C, D, F$ 共圆，
可得 $\angle E F D+\angle P C D=180^{\circ}$ ，
由 $\angle \mathrm{PFB}=\angle \mathrm{EFD}=2 \angle \mathrm{PCD}$ ，
即有 $3 \angle \mathrm{PCD}=180^{\circ}$ ，
可得 $\angle \mathrm{PCD}=60^{\circ}$ ；
（2）证明：由C，D，E，F共圆，
由 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G
可得 G 为圆心，即有 $\mathrm{GC}=\mathrm{GD}$ ，
则 G 在 CD 的中垂线，又 CD 为圆 G 的弦，
则 $O G \perp C D$ 。

【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于中档题．