（本小题满分 13 分，（1）小问 4 要，（2）小问 9…——2015 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）证明见解析；②$\frac{\sqrt{3}}{6}$ ．

## 【解析】

试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由 $P C \perp$ 平面 $A B C$ ，可知 $P C \perp D E$ ，再分析已知由 $D C=C E=\sqrt{2}, C E=2$ 得 $C D \perp D E$ ，这样与 $D E$ 垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于 $\angle A C B=\frac{\pi}{2}$ ， $P C \perp$ 平面 $A B C$ ，因此 $C A, C B, C P$ 两两垂直，可以他们为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面 $A P D$ 和平面 $C P D$ 的法向量 $\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}$ ，向量 $\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}$ 的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论．

试题解析：①证明：由 $P C \perp$ 平面 $A B C, D E \subset$ 平面 $A B C$ ，故 $P C \perp D E$

由 $C E=2, C D=D E=\sqrt{2}$ 得 $\Delta C D E$ 为等腰直角三角形，故 $C D \perp D E$

由 $P \cdot C \cap C D=C, D E$ 垂直于平面 $P C D$ 内两条相交直线，故 $D E \perp$ 平面 $P C D$

②解：由①知，$\triangle C D E$ 为等腰直角三角形，$\angle D C E=\frac{\pi}{4}$ ，如（19）图，过点 $D$ 作 $D F$ 垂直 $C E$ 于 $F$ ，易知 $D F=F C=E F=1$ ，又已知 $E B=1$ ，

故 $F B=2$ ．
由 $\angle A C B=\frac{\pi}{2}$ ，得 $D F / / A C, \frac{D F}{A C}=\frac{F B}{B C}=\frac{2}{3}$ ，故 $A C=\frac{3}{2} D F=\frac{3}{2}$ ．

以 $C$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{C A}, \overrightarrow{C B}, \overrightarrow{C P}$ 的方程为 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 $C (0,0,0),, \quad P(0,0,3), \quad A\left(\frac{3}{2}, 0,0\right)$,
$E(0,2,0), \quad D(1,1,0), \quad \overrightarrow{E D}=(1,-1,0)$ ，
$\overrightarrow{D P}=(-1,-1,3) \overrightarrow{D A}=\left(\frac{1}{2},-1,0\right)$
设平面 $P A D$ 的法向量 $\vec{n}_{1}=\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{z}_{1}\right)$ ，

由 $\vec{n}_{1} \cdot \overrightarrow{D P}=0, \vec{n}_{1} \cdot \overrightarrow{D A}=0$ ，

得 $\left\{\begin{array}{c}-x_{1}-y_{1}-3 z_{1}=0 \\ \frac{1}{2} x_{1}-y_{1}=0\end{array}\right.$ 故可取 $\overrightarrow{n_{1}}=(2,1,1)$ ．

由①可知 $D E \perp$ 平面 $P C D$ ，故平面 $P C D$ 的法向量 $\overrightarrow{n_{2}}$ 可取为 $\overrightarrow{\mathrm{ED}}$ ，即 $\overrightarrow{n_{2}}=(1,-1,0)$ ．
从而法向量 $\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}$ 的夹角的余弦值为 $\cos \left\langle\overrightarrow{n_{1}}, \overrightarrow{n_{2}}\right\rangle=\frac{\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}}{\left|\overrightarrow{n_{1}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{n_{2}}\right|}=\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，
故所求二面角 $A-P D-C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ．
【考点定位】考查线面垂直，二面角．考查空间想象能力和推理能力．
【名师点晴】立体几何解答题的一般模式是首先证明线面位置关系（一般考虑使用综合几何方法进行证明），然后是与空间角有关的问题，综合几何方法和空间向量方法都可以，但使用综合几何方法要作出一面角的平面角，作图中要伴随着相关的证明，对空间想象能力与逻辑推理能力有较高的要求，而使用空间向量方法就是求直线的方向向量、平面的法向量，按照空间角的计算公式进行计算，也就是把几何问题完全代数化了，这种方法对运算能力有较高的要求。两种方法各有利弊，在解题中可根据情况灵活选用。