在正方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_ 1 D…——2022 高考数学第 9 题答案解析

【答案】A
【解析】
【分析】证明 $E F \perp$ 平面 $B D D_{1}$ ，即可判断 A ；如图，以点 $D$ 为原点，建立空间直角坐标系，设 $A B=2$ ，分别求出平面 $B_{1} E F, A_{1} B D, A_{1} C_{1} D$ 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断 BCD．

【详解】解：在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，
$A C \perp B D$ 且 $D D_{1} \perp$ 平面 $A B C D$,

又 $E F \subset$ 平面 $A B C D$ ，所以 $E F \perp D D_{1}$ ，

因为 $E, F$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，

所以 $E F \| A C$ ，所以 $E F \perp B D$ ，

又 $B D \cap D D_{1}=D$ ，

所以 $E F \perp$ 平面 $B D D_{1}$ ，

又 $E F \subset$ 平面 $B_{1} E F$ ，

所以平面 $B_{1} E F \perp$ 平面 $B D D_{1}$ ，故 A 正确；
选项 BCD 解法一：
如图，以点 $D$ 为原点，建立空间直角坐标系，设 $A B=2$ ，
则 $B_{1}(2,2,2), E(2,1,0), F(1,2,0), B(2,2,0), A_{1}(2,0,2), A(2,0,0), C(0,2,0)$ ， $C_{1}(0,2,2)$,

则 $\overrightarrow{E F}=(-1,1,0), \overrightarrow{E B_{1}}=(0,1,2), \overrightarrow{D B}=(2,2,0), \overrightarrow{D A_{1}}=(2,0,2)$ ，
$\overrightarrow{A A_{1}}=(0,0,2), \overrightarrow{A C}=(-2,2,0), \overrightarrow{A_{1} C_{1}}=(-2,2,0)$,
设平面 $B_{1} E F$ 的法向量为 $\vec{m}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，
则有 $\left\{\begin{array}{l}\vec{m} \cdot \overrightarrow{E F}=-x_{1}+y_{1}=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{E B_{1}}=y_{1}+2 z_{1}=0\end{array}\right.$ 可取 $\vec{m}=(2,2,-1)$ ，
同理可得平面 $A_{1} B D$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_{1}}=(1,-1,-1)$ ，
平面 $A_{1} A C$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_{2}}=(1,1,0)$ ，
平面 $A_{1} C_{1} D$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_{3}}=(1,1,-1)$ ，
则 $\vec{m} \cdot \overrightarrow{n_{1}}=2-2+1=1 \neq 0$ ，
所以平面 $B_{1} E F$ 与平面 $A_{1} B D$ 不垂直，故 B 错误；
因为 $\vec{m}$ 与 $\dot{n}_{2}$ 不平行，
所以平面 $B_{1} E F$ 与平面 $A_{1} A C$ 不平行，故 C 错误；
因为 $\vec{m}$ 与 $\overrightarrow{n_{3}}$ 不平行，
所以平面 $B_{1} E F$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 不平行，故 D 错误，
故选：A．

选项 BCD 解法二：
解：对于选项 B ，如图所示，设 $A_{1} B \cap B_{1} E=M, E F \cap B D=N$ ，则 $M N$ 为平面 $B_{1} E F$ 与平面 $A_{1} B D$ 的

交线，
在 $\triangle B M N$ 内，作 $B P \perp M N$ 于点 $P$ ，在 $\triangle E M N$ 内，作 $G P \perp M N$ ，交 $E N$ 于点 $G$ ，连结 $B G$ ，则 $\angle B P G$ 或其补角为平面 $B_{1} E F$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：$P B^{2}+P N^{2}=B N^{2}, P G^{2}+P N^{2}=G N^{2}$ ，
底面正方形 $A B C D$ 中，$E, F$ 为中点，则 $E F \perp B D$ ，
由勾股定理可得 $N B^{2}+N G^{2}=B G^{2}$ ，
从而有：$N B^{2}+N G^{2}=\left(P B^{2}+P N^{2}\right)+\left(P G^{2}+P N^{2}\right)=B G^{2}$ ，

据此可得 $P B^{2}+P G^{2} \neq B G^{2}$ ，即 $\angle B P G \neq 90^{\circ}$ ，

据此可得平面 $B_{1} E F \perp$ 平面 $A_{1} B D$ 不成立，选项 B 错误；

对于选项 C ，取 $A_{1} B_{1}$ 的中点 $H$ ，则 $A H \| B_{1} E$ ，

由于 $A H$ 与平面 $A_{1} A C$ 相交，故平面 $B_{1} E F / /$ 平面 $A_{1} A C$ 不成立，选项 C 错误；

对于选项 D ，取 $A D$ 的中点 $M$ ，很明显四边形 $A_{1} B_{1} F M$ 为平行四边形，则 $A_{1} M \| B_{1} F$ ，由于 $A_{1} M$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 相交，故平面 $B_{1} E F / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ 不成立，选项 D 错误；

故选：A．