已知函数 f(x)=(sin x+cos x)^ 2 +c…——2015 高考数学第 1 题答案解析

【答案】（I）$\pi$ ；（II）最大值为 $1+\sqrt{2}$ ，最小值为 0

## 【解析】

（I）因为 $f(x)=\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cos x+\cos 2 x=1+\sin 2 x+\cos 2 x=\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+1$
所以函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=\frac{2 \pi}{|2|}=\pi$ ．
（II）由（I）得计算结果，$f(x)=\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)+1$
当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时， $2 x+\frac{\pi}{4} \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$
由正弦函数 $y=\sin x$ 在 $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上的图象知，
当 $2 x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ ，即 $x=\frac{\pi}{8}$ 时，$f(x)$ 取最大值 $\sqrt{2}+1$ ；
当 $2 x+\frac{\pi}{4}=\frac{5 \pi}{4}$ ，即 $x=\frac{\pi}{4}$ 时，$f(x)$ 取最小值 0 ．
综上，$f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值为 $\sqrt{2}+1$ ，最小值为 0 ．
【考点定位】本题主要考查同角的基本关系、三角恒等变换、三角函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)+B$ 的性质，以及正弦函数的性质。

【名师点睛】熟练掌握三角函数的同角的基本关系和恒等变换公式以及三角函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)+B$ 的性质是解决本题的关键，考查了考生的基本，运算能力。