（5分）已知正四棱柱 A B C D-A_ 1 B_ 1…——2013 高考数学第 10 题答案解析

【考点】 MI ：直线与平面所成的角．
【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．
【分析】设 $A B=1$ ，则 $A A_{1}=2$ ，分别以 $\overrightarrow{D_{1} A_{1}} , \overrightarrow{D_{1} C_{1}} , \overrightarrow{D_{1} D}$ 的方向为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$轴的正方向建立空间直角坐标系，设 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ 为平面 $\mathrm{BDC}_{1}$ 的一个法向量， CD 与平面 $\mathrm{BDC}_{1}$ 所成角为 $\theta$ ，

则 $\sin \theta=\left|\frac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{n}}||\overrightarrow{\mathrm{DC}}|}\right|$ ，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可。
【解答】解：设 $A B=1$ ，则 $A A_{1}=2$ ，分别以 $\overrightarrow{D_{1} A_{1}} , \overrightarrow{D_{1} C_{1}} , \overrightarrow{D_{1} D}$ 的方向为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系，

如下图所示：

则 $\mathrm{D}(0,0,2), \mathrm{C}_{1}(1,0,0), \mathrm{B}(1,1,2), \mathrm{C}(1,0,2)$ ， $\overrightarrow{\mathrm{DB}}=(1,1,0), \overrightarrow{\mathrm{DC}_{1}}=(1,0,-2), \overrightarrow{\mathrm{DC}}=(1,0,0)$ ，设 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ 为平面 $\mathrm{BDC}_{1}$ 的一个法向量，则 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}}=0 \\ \overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}_{1}}=0\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=0 \\ \mathrm{x}-2 \mathrm{z}=0\end{array}\right.$ ，取 $\overrightarrow{\mathrm{n}}= (2,-2,1)$ ，

设 CD 与平面 $\mathrm{BDC}_{1}$ 所成角为 $\theta$ ，则 $\sin \theta=\left|\frac{\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{n}}||\overrightarrow{\mathrm{DC}}|}\right|=\frac{2}{3}$ ，

故选：A．
【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．