2013_省自主命题（重庆）
（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）在 $\triangle A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + { \sqrt { 2 } } a b = c ^ { 2 }$
（I）求C；（II）设 $\cos A \cos B = \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 5 } , \frac { \cos ( \alpha + A ) \cos ( \alpha + B ) } { \cos ^ { 2 } \alpha } = \frac { \sqrt { 2 } } { 5 }$ ，求 tan α的值.
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
解析：体现了数学转化与化归思想
（I)因为 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + { \sqrt { 2 } } a b = c ^ { 2 }$
由余弦定理有 $\cos C = { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } } { 2 a b } } = { \frac { - { \sqrt { 2 } } a b } { 2 a b } } = { \frac { - { \sqrt { 2 } } } { 2 } }$ ，故 $C = \frac { 3 \pi } { 4 }$
（Ⅱ）由题意得 $\frac { ( \cos \alpha \cos \varDelta - \sin \alpha \sin \varDelta ) ( \cos \alpha \cos \theta - \sin \alpha \sin B ) } { \cos ^ { 2 } \alpha } = \frac { \sqrt { 2 } } { 5 }$ 因此 $( \tan \alpha \sin A - \cos A ) ( \tan \alpha \sin B - \cos B ) = \frac { \sqrt { 2 } } { 5 }$ $\tan ^ { 2 } \alpha \sin \ A \sin B - \tan \alpha ( \sin \ A \cos \ B + \cos \ A \sin B ) + \cos \ B = \frac { \sqrt { 2 } } { 5 }$ $\tan ^ { 2 } \alpha \sin . 4 \sin B - \tan \alpha \sin ( A + B ) + \cos A \cos B = \frac { \sqrt { 2 } } { 5 } \textcircled { 1 }$
因为 $C = { \frac { 3 \pi } { 4 } } , A + B = { \frac { \pi } { 4 } }$ 所以 $\sin ( A + B ) = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$ 因为 $\cos ( A + B ) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
即 ${ \frac { 3 { \sqrt { 2 } } } { 5 } } - \sin A \sin B = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$ 解得 $\sin A \sin B = { \frac { 3 { \sqrt { 2 } } } { 5 } } - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 1 0 } }$
由①得 $\tan ^ { 2 } \alpha - 5 \tan \alpha + 4 = 0$ 解得 $\tan \alpha = 4$ $\tan \alpha = 1$