设函数 f(x)=2 x^ 3 -3 a x^ 2 +1，…——2024 高考数学第 11 题答案解析

## 【答案】AD

## 【解析】

【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为 $x=0, x=a$ ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 $f(x)$ 在 $(-1,0),(0, a),(a, 2 a)$ 上各有一个零点； B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析； C 选项，假设存

在这样的 $a, b$ ，使得 $\mathrm{x}=\mathrm{b}$ 为 $f(x)$ 的对称轴，则 $f(x)=f(2 b-x)$ 为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的 $a$ ，使得 $(1,3-3 a)$ 为 $f(x)$ 的对称中心，则 $f(x)+f(2-x)=6-6 a$ ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解．

【详解】 A 选项，$f^{\prime}(x)=6 x^{2}-6 a x=6 x(x-a)$ ，由于 $a>1$ ，
故 $x \in(-\infty, 0) \cup(a,+\infty)$ 时 $f^{\prime}(x)>0$ ，故 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0),(a,+\infty)$ 上单调递增，
$x \in(0, a)$ 时，$f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减，
则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取到极大值，在 $x=a$ 处取到极小值，
由 $f(0)=1>0, f(a)=1-a^{3}<0$ ，则 $f(0) f(a)<0$ ，
根据零点存在定理 $f(x)$ 在 $(0, a)$ 上有一个零点，
又 $f(-1)=-1-3 a<0, f(2 a)=4 a^{3}+1>0$ ，则 $f(-1) f(0)<0, f(a) f(2 a)<0$ ，
则 $f(x)$ 在 $(-1,0),(a, 2 a)$ 上各有一个零点，于是 $a>1$ 时，$f(x)$ 有三个零点， A 选项正确；
B 选项，$f^{\prime}(x)=6 x(x-a), a<0$ 时，$x \in(a, 0), f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减，
$x \in(0,+\infty)$ 时 $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增，
此时 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的 $a, b$ ，使得 $\mathrm{x}=\mathrm{b}$ 为 $f(x)$ 的对称轴，
即存在这样的 $a, b$ 使得 $f(x)=f(2 b-x)$ ，
即 $2 x^{3}-3 a x^{2}+1=2(2 b-x)^{3}-3 a(2 b-x)^{2}+1$ ，
根据二项式定理，等式右边 $(2 b-x)^{3}$ 展开式含有 $x^{3}$ 的项为 $2 \mathrm{C}_{3}^{3}(2 b)^{0}(-x)^{3}=-2 x^{3}$ ，
于是等式左右两边 $x^{3}$ 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 $a, b$ ，使得 $\mathrm{x}=\mathrm{b}$ 为 $f(x)$ 的对称轴， C 选项错误；
D 选项，

**方法一**：利用对称中心的表达式化简

$f(1)=3-3 a$ ，若存在这样的 $a$ ，使得 $(1,3-3 a)$ 为 $f(x)$ 的对称中心，
则 $f(x)+f(2-x)=6-6 a$ ，事实上，
$f(x)+f(2-x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+1+2(2-x)^{3}-3 a(2-x)^{2}+1=(12-6 a) x^{2}+(12 a-24) x+18-12 a$,

于是 $6-6 a=(12-6 a) x^{2}+(12 a-24) x+18-12 a$
即 $\left\{\begin{array}{l}12-6 a=0 \\ 12 a-24=0 \\ 18-12 a=6-6 a\end{array}\right.$ ，解得 $a=2$ ，即存在 $a=2$ 使得 $(1, f(1))$ 是 $f(x)$ 的对称中心， D 选项正确．

**方法二**：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
$f(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+1, f^{\prime}(x)=6 x^{2}-6 a x, f^{\prime \prime}(x)=12 x-6 a$ ，
由 $f^{\prime \prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{a}{2}$ ，于是该三次函数的对称中心为 $\left(\frac{a}{2}, f\left(\frac{a}{2}\right)\right)$ ，
由题意 $(1, f(1))$ 也是对称中心，故 $\frac{a}{2}=1 \Leftrightarrow a=2$ ，
即存在 $a=2$ 使得（ $1, f(1)$ ）是 $f(x)$ 的对称中心， D 选项正确．
故选：AD
【点睛】结论点睛：①$f(x)$ 的对称轴为 $x=b \Leftrightarrow f(x)=f(2 b-x)$ ；②$f(x)$ 关于 $(a, b)$ 对称 $\Leftrightarrow f(x)+f(2 a-x)=2 b$ ；③任何三次函数 $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是 $f^{\prime \prime}(x)=0$ 的解，即 $\left(-\frac{b}{3 a}, f\left(-\frac{b}{3 a}\right)\right)$ 是三次函数的对称中心