已知 f(x)=2|x-a|-a, a>0 ． （1）求不…——2023 高考数学第 23 题答案解析

【答案】①$\left(\frac{a}{3}, 3 a\right)$
②$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

【解析】

【分析】（1）分 $x \leq a$ 和 $x>a$ 讨论即可；
（2）写出分段函数，画出草图，表达面积解方程即可．

【小问 1 详解】

若 $x \leq a$ ，则 $f(x)=2 a-2 x-a<x$ ，

即 $3 x>a$ ，解得 $x>\frac{a}{3}$ ，即 $\frac{a}{3}<x \leq a$ ，
若 $x>a$ ，则 $f(x)=2 x-2 a-a<x$ ，
解得 $x<3 a$ ，即 $a<x<3 a$ ，
综上，不等式的解集为 $\left(\frac{a}{3}, 3 a\right)$ ．

【小问 2 详解】

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-2 x+a, x \leq a \\ 2 x-3 a, x>a\end{array}\right.$ ．
画出 $f(x)$ 的草图，则 $f(x)$ 与坐标轴围成 $\triangle A D O$ 与 $\triangle A B C$
$\triangle A B C$ 的高为 $a, D(0, a), A\left(\frac{a}{2}, 0\right), B\left(\frac{3 a}{2}, 0\right)$ ，所以 $|A B|=a$
所以 $S_{\triangle O A D}+S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2}|O A| \cdot a+\frac{1}{2}|A B| \cdot a=\frac{3}{4} a^{2}=2$ ，解得 $a=\frac{2 \sqrt{6}}{3}$