设函数 f(x)=a(x+1)^ 2 -1, g(x)=c…——2024 高考数学第 6 题答案解析

【答案】D

## 【解析】

【分析】解法一：令 $F(x)=a x^{2}+a-1, G(x)=\cos x$ ，分析可知曲线 $y=F(x)$ 与 $y=G(x)$ 恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在 $y$ 轴上，即可得 $a=2$ ，并代入检验即可；解法二：令 $h(x)=f(x)-g(x), x \in(-1,1)$ ，可知 $h(x)$ 为偶函数，根据偶函数的对称性可知 $h(x)$ 的零点只能为 0 ，即可得 $a=2$ ，并代入检验即可．

【详解】解法一：令 $f(x)=g(x)$ ，即 $a(x+1)^{2}-1=\cos x+2 a x$ ，可得 $a x^{2}+a-1=\cos x$ ，令 $F(x)=a x^{2}+a-1, G(x)=\cos x$ ，

原题意等价于当 $x \in(-1,1)$ 时，曲线 $y=F(x)$ 与 $y=G(x)$ 恰有一个交点，

注意到 $F(x), G(x)$ 均为偶函数，可知该交点只能在 $y$ 轴上，

可得 $F(0)=G(0)$ ，即 $a-1=1$ ，解得 $a=2$ ，
若 $a=2$ ，令 $F(x)=G(x)$ ，可得 $2 x^{2}+1-\cos x=0$
因为 $x \in(-1,1)$ ，则 $2 x^{2} \geq 0,1-\cos x \geq 0$ ，当且仅当 $x=0$ 时，等号成立，

可得 $2 x^{2}+1-\cos x \geq 0$ ，当且仅当 $x=0$ 时，等号成立，

则方程 $2 x^{2}+1-\cos x=0$ 有且仅有一个实根 0 ，即曲线 $y=F(x)$ 与 $y=G(x)$ 恰有一个交点，
所以 $a=2$ 符合题意；
综上所述：$a=2$ ．
解法二：令 $h(x)=f(x)-g(x)=a x^{2}+a-1-\cos x, x \in(-1,1)$ ，原题意等价于 $h(x)$ 有且仅有一个零点，

因为 $h(-x)=a(-x)^{2}+a-1-\cos (-x)=a x^{2}+a-1-\cos x=h(x)$ ，则 $h(x)$ 为偶函数，

根据偶函数的对称性可知 $h(x)$ 的零点只能为 0 ，即 $h(0)=a-2=0$ ，解得 $a=2$ ，

若 $a=2$ ，则 $h(x)=2 x^{2}+1-\cos x, x \in(-1,1)$ ，

又因为 $2 x^{2} \geq 0,1-\cos x \geq 0$ 当且仅当 $x=0$ 时，等号成立，
可得 $h(x) \geq 0$ ，当且仅当 $x=0$ 时，等号成立，
即 $h(x)$ 有且仅有一个零点 0 ，所以 $a=2$ 符合题意；
故选：D．