2025_北京卷 (2025)
15．关于定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$ ，给出下列四个结论：
①存在在 $\mathbf{R}$ 上单调递增的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)+f(2 x)=-x$ 恒成立；
②存在在 $\mathbf{R}$ 上单调递减的函数 $f(x)$ 使得 $f(x)-f(2 x)=x$ 恒成立；
③使得 $f(x)+f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个；
④使得 $f(x)-f(-x)=\cos x$ 恒成立的函数 $f(x)$ 存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 $\_\_\_\_$。
【答案】②③
【解析】
【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误。
【详解】对于（1），若存在在 $\mathbf{R}$ 上的增函数 $f(x)$ ，满足 $f(x)+f(2 x)=-x$ ，
则 $f(0)+f(2 \times 0)=-0$ ，即 $f(0)=0$ ，
故 $x>0$ 时，$f(4 x)>f(2 x)>f(x)>0$ ，故 $f(4 x)+f(2 x)>f(x)+f(2 x)$ ，
故 $-2 x>-x$ 即 $x<0$ ，矛盾，故①错误；
对于②，取 $f(x)=-x$ ，该函数为 $\mathbf{R}$ 上的减函数且 $f(x)-f(2 x)=x$ ，
故该函数符合，故②正确；
对于③，取 $f(x)=\frac{1}{2} \cos x+m x, m \in \mathbf{R}$ ，
此时 $f(x)+f(-x)=\cos x$ ，由 $m \in \mathbf{R}$ 可得 $f(x)$ 有无穷多个，
故③正确；
对于④，若存在 $f(x)$ ，使得 $f(x)-f(-x)=\cos x$ ，
令 $x=0$ ，则 $0=\cos 0$ ，但 $\cos 0=1$ ，矛盾，
故满足 $f(x)-f(-x)=\cos x$ 的函数不存在，故④错误。
故答案为：②③