2015_新课标 II 卷 (2015·理)
17．（12分）$\triangle A B C$ 中，$D$ 是 $B C$ 上的点，$A D$ 平分 $\angle B A C, ~ \triangle A B D$ 面积是 $\triangle A D C$ 面积的2倍。
（1）求 $\frac{\sin \mathrm{B}}{\sin \mathrm{C}}$ ；
（2）若 $\mathrm{AD}=1, ~ \mathrm{DC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求 BD 和 AC 的长．
【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．
【专题】58：解三角形．
【分析】（1）如图，过 $A$ 作 $A E \perp B C$ 于 $E$ ，由已知及面积公式可得 $B D=2 D C$ ，由 $A D$平分 $\angle \mathrm{BAC}$ 及正弦定理可得 $\sin \angle \mathrm{B}=\frac{\mathrm{AD} \times \sin \angle \mathrm{BAD}}{\mathrm{BD}}, \sin \angle \mathrm{C}=\frac{\mathrm{AD} \times \sin \angle \mathrm{DAC}}{\mathrm{DC}}$ ，从而得解 $\frac{\sin \angle B}{\sin \angle C}$ ．
②由（1）可求 $\mathrm{BD}=\sqrt{2}$ ．过 D 作 $\mathrm{DM} \perp \mathrm{AB}$ 于 M ，作 $\mathrm{DN} \perp \mathrm{AC}$ 于 N ，由 AD 平分 $\angle \mathrm{BAC}$ ，可求 $A B=2 A C$ ，令 $A C=x$ ，则 $A B=2 x$ ，利用余弦定理即可解得 $B D$ 和 $A C$ 的长．
【解答】解：（1）如图，过 $A$ 作 $A E \perp B C$ 于 $E$ ，
$\because \frac{S_{\triangle A B D}}{S_{\triangle A D C}}=\frac{\frac{1}{2} B D \times A E}{\frac{1}{2} D C \times A E}=2$
$\therefore \mathrm{BD}=2 \mathrm{DC}$ ，
$\because \mathrm{AD}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}$
$\therefore \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{DAC}$
在 $\triangle \mathrm{ABD}$ 中，$\frac{\mathrm{BD}}{\sin \angle \mathrm{BAD}}=\frac{\mathrm{AD}}{\sin \angle \mathrm{B}}, \therefore \sin \angle \mathrm{B}=\frac{\mathrm{AD} \times \sin \angle \mathrm{BAD}}{\mathrm{BD}}$
在 $\triangle \mathrm{ADC}$ 中，$\frac{\mathrm{DC}}{\sin \angle \mathrm{DAC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\sin \angle \mathrm{C}}, \therefore \sin \angle \mathrm{C}=\frac{\mathrm{AD} \times \sin \angle \mathrm{DAC}}{\mathrm{DC}}$ ；
$\therefore \frac{\sin \angle \mathrm{B}}{\sin \angle \mathrm{C}}=\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}}=\frac{1}{2} . \ldots 6$ 分
②由（1）知， $\mathrm{BD}=2 \mathrm{DC}=2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$ ．
过 D 作 $\mathrm{DM} \perp \mathrm{AB}$ 于 M ，作 $\mathrm{DN} \perp \mathrm{AC}$ 于 N ，
$\because \mathrm{AD}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}$ ，
$\therefore \mathrm{DM}=\mathrm{DN}$ ，
$\therefore \frac{S_{\triangle A B D}}{S_{\triangle A D C}}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{AB} \times \mathrm{DM}}{\frac{1}{2} \mathrm{AC} \times \mathrm{DN}}=2$,
$\therefore \mathrm{AB}=2 \mathrm{AC}$ ，
令 $\mathrm{AC}=\mathrm{x}$ ，则 $\mathrm{AB}=2 \mathrm{x}$ ，
$\because \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{DAC}$ ，
$\therefore \cos \angle \mathrm{BAD}=\cos \angle \mathrm{DAC}$ ，
∴ 由余弦定理可得：$\frac{(2 x)^{2}+1^{2}-(\sqrt{2})^{2}}{2 \times 2 x \times 1}=\frac{x^{2}+1^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}{2 \times x \times 1}$ ，
$\therefore \mathrm{x}=1$ ，
$\therefore \mathrm{AC}=1$ ，
$\therefore \mathrm{BD}$ 的长为 $\sqrt{2}, \mathrm{AC}$ 的长为 1 ．
【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用 ，属于基本知识的考查．