（5分）在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均…——2017 高考数学第 12 题答案解析

【考点】GP：两角和与差的三角函数．

【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
**方法一**：根据教的对称得到 $\sin \alpha=\sin \beta=\frac{1}{3}, \cos \alpha=-\cos \beta$ ，以及两角差的余弦公式即可求出

**方法二**：分 $\alpha$ 在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出

【解答】解：方法一：∵ 角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称，
$\therefore \sin \alpha=\sin \beta=\frac{1}{3}, \quad \cos \alpha=-\cos \beta$ ，
$\therefore \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=-\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha=2 \sin ^{2} \alpha-1=\frac{2}{9}-1=-\frac{7}{9}$
**方法二**：$\because \sin \alpha=\frac{1}{3}$ ，
当 $\alpha$ 在第一象限时， $\cos \alpha=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，
$\because \alpha, \beta$ 角的终边关于 y 轴对称，
$\therefore \beta$ 在第二象限时， $\sin \beta=\sin \alpha=\frac{1}{3}, \cos \beta=-\cos \alpha=-\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，
$\therefore \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=-\frac{2 \sqrt{2}}{3} \times \frac{2 \sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}=-\frac{7}{9}$
$\because \quad \because \sin \alpha=\frac{1}{3}$,
当 $\alpha$ 在第二象限时， $\cos \alpha=-\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，
$\because \alpha, \beta$ 角的终边关于 y 轴对称，
$\therefore \beta$ 在第一象限时， $\sin \beta=\sin \alpha=\frac{1}{3}, \cos \beta=-\cos \alpha=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，
$\therefore \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=-\frac{2 \sqrt{2}}{3} \times \frac{2 \sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}=-\frac{7}{9}$
综上所述 $\cos (\alpha-\beta)=-\frac{7}{9}$ ，
故答案为：$-\frac{7}{9}$
【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题