（本小题满分 12 分） 在 A B C 中， A, B,…——2011 高考数学第 22 题答案解析

【解答】
（本小题满分 12 分）

在 $\triangle A B C$ 中，$A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $3 a \cos A=c \cos B+b \cos C$ ．
（1）求 $\cos A$ 的值；
（2）若 $a=1, \cos B+\cos C=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求边 $c$ 的值．
解：（1）由 $3 a \cos A=c \cos B+b \cos C$ 正弦定理得：
$3 \sin A \cos A=\sin C \cos B+\sin B \cos C=\sin (B+C)$
及： $3 \sin A \cos A=\sin A$ 所以 $\cos A=\frac{1}{3}$ 。
②由 $\cos B+\cos C=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\cos (\pi-A-C)+\cos C=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 展开易得：
$\cos C+\sqrt{2} \sin C=\sqrt{3} \Rightarrow \sin C=\frac{\sqrt{6}}{3}$

正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C} \Rightarrow c=\frac{\sqrt{3}}{2}$

【解析】本题考查的主要知识三角函数及解三角形问题，题目偏难。第一问主要涉及到正弦定理、诱导公式及三角形内角和为 $180^{\circ}$ 这两个知识点的考查属于一般难度；第二问同样是对正弦定理和诱导公式的考查但形势更为复杂。