（5分） A B C 的内角A，B，C的对边分别为a，b，…——2018 高考数学第 16 题答案解析

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；58：解三角形．
【分析】直接利用正弦定理求出 A 的值，进一步利用余弦定理求出 bc 的值，最后求出三角形的面积。

【解答】解：$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．
$\mathrm{bsinC}+\mathrm{csinB}=4 \mathrm{asinB} \operatorname{sinC}$,
利用正弦定理可得 $\sin \mathrm{B} \sin \mathrm{C}+\sin \mathrm{C} \sin \mathrm{B}=4 \sin \mathrm{~A} \sin \mathrm{~B} \sin \mathrm{C}$ ，
由于 $0所以 $\sin B \sin C \neq 0$ ，
所以 $\sin \mathrm{A}=\frac{1}{2}$ ，
则 $\mathrm{A}=\frac{\pi}{6}$ 或 $\frac{5 \pi}{6}$
由于 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=8$ ，
则： $\cos \mathrm{A}=\frac{\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{a}^{2}}{2 \mathrm{bc}}$ ，
①当 $\mathrm{A}=\frac{\pi}{6}$ 时，$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{8}{2 \mathrm{bc}}$ ，
解得 $\mathrm{bc}=\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ ，
所以 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} \mathrm{bcsin} \mathrm{A}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．
②当 $\mathrm{A}=\frac{5 \pi}{6}$ 时，$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{8}{2 \mathrm{bc}}$ ，
解得 $b c=-\frac{8 \sqrt{3}}{3}$（不合题意），舍去。
故：$S_{\triangle A B C}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．
故答案为：$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．
【点评】本体考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用及三角形面积公式的应用。