如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，…——2015 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（I）详见解析；（II）$\frac{2}{3}$ ．

## 【解析】

解法一：（I）如图，取 $A E$ 的中点 $H$ ，连接 $H G, H D$, 又 G 是 BE 的中点，所以 $\mathrm{GH} \| \mathrm{AB}$ ，且 $\mathrm{GH}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}$ ，
又 F 是 CD 中点，所以 $\mathrm{DF}=\frac{1}{2} \mathrm{CD}$ ，由四边形 ABCD 是矩形得， $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}, \mathrm{AB}=\mathrm{CD}$ ，所以 $\mathrm{GH} \| \mathrm{DF}$ ，且 $\mathrm{GH}=\mathrm{DF}$ ．从而四边形 $H G F D$ 是平行四边形，所以 $G F / / D H$ ，又
$\mathrm{DH} \subset$ 平面 $\mathrm{ADE}, \mathrm{GF} \propto$ 平面 ADE ，所以 $\mathrm{GF} \|$ 平面 ADE ．

（II）如图，在平面 BEC 内，过点 B 作 $\mathrm{BQ} \| \mathrm{EC}$ ，因为 $\mathrm{BE} \perp \mathrm{CE}$ ，所以 $\mathrm{BQ} \perp \mathrm{BE}$ 。
又因为 $\mathrm{AB} \perp$ 平面 BEC ，所以 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{BE}, ~ \mathrm{AB} \perp \mathrm{BQ}$
以 B 为原点，分别以 $\overrightarrow{B E}, \overrightarrow{B Q}, \overrightarrow{B A}$ 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 $\mathrm{A}(0,0,2)$ ， $B(0,0,0), E(2,0,0), F(2,2,1)$ ．因为 $A B \perp$ 平面 $B E C$ ，所以 $\overrightarrow{B A}=(0,0,2)$ 为平面 $B E C$ 的法向量，

设 $\vec{n}=(x, y, z)$ 为平面 AEF 的法向量． $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=(2,0,-2), \overrightarrow{\mathrm{AF}}=(2,2,-1)$
由 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=0, \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=0,\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{c}2 x-2 z=0, \\ 2 x+2 y-z=0,\end{array}\right.$ 取 $z=2$ 得 $\vec{n}=(2,-1,2)$ ．
从而 $\cos \langle\vec{n}, \overrightarrow{B A}\rangle=\frac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{B A}}{|\vec{n}| \cdot|\overrightarrow{B A}|}=\frac{4}{3 \times 2}=\frac{2}{3}$ ，
所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ ．
解法二：（I ）如图，取 $A B$ 中点 $M$ ，连接 $M G, M F$ ，又 $G$ 是 $B E$ 的中点，可知 $G M / / A E$ ，
又 $A E \subset$ 面 $A D E, G M \not \subset$ 面 $A D E$ ，所以 $G M / /$ 平面 $A D E$ ．
在矩形 ABCD 中，由 $\mathrm{M}, \mathrm{F}$ 分别是 $\mathrm{A} \mathrm{B}, \mathrm{C} \mathrm{D}$ 的中点得 $M F / / A D$ ．
又 $A D \subset$ 面 $A D E, M F \not \subset$ 面 $A D E$ ，所以 $M F / /$ 面 $A D E$ ．
又因为 $G M \cap M F=M, G M \subset$ 面 $G M F, M F \subset$ 面 $G M F$ ，
所以面 $G M F / /$ 平面 $A D E$ ，因为 $G F \subset$ 面 $G M F$ ，所以 $G M / /$ 平面 $A D E$ ．

（II）同解法一。
【考点定位】1、直线和平面平行的判断；2、面面平行的判断和性质；3、二面角．
【名师点睛】本题考查直线和平面平行的证明和二面角求法，直线和平面平行首先是利用其判定定理，或者利用面面平行的性质来证，注意线线平行、线面平行、面面平行的转化；利用坐标法求二面角，主要是空间直角坐标系的建立要恰当，便于用坐标表示相关点，求出半平面法向量夹角后，要观察二面角是锐角还是钝角，正确写出二面角的余弦值．