【答案】（I）$f(x)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right), g(x)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)$．证明：当 $x>0$ 时， $\mathrm{e}^{x}>1,0<\mathrm{e}^{-x}<1$，故 $f(x)>0$．
又由基本不等式，有 $g(x)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)>\sqrt{\mathrm{e}^{x} \mathrm{e}^{-x}}=1$，即 $g(x)>1$。（II）由（I。）得
$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}+\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2 x}}\right)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)=g(x)⑤ g^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2 x}}\right)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)=f(x)$⑥
当 $x>0$ 时，$\frac{f(x)}{x}>a g(x)+(1-a)$ 等价于 $f(x)>a x g(x)+(1-a) x$⑦$\frac{f(x)}{x}<b g(x)+(1-b)$ 等价于 $f(x)<b x g(x)+(1-b) x$．⑧于是设函数 $h(x)=f(x)-c x g(x)-(1-c) x$，由⑤⑥，有 $h^{\prime}(x)=g(x)-c g(x)-c x f(x)-(1-c)=(1-c)[g(x)-1]-c x f(x)$。当 $x>0$ 时，（1）若 $c \leq 0$，由③④，得 $h^{\prime}(x)>0$，故 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上为增函数，从而 $h(x)>h(0)=0$，即 $f(x)>c x g(x)+(1-c) x$，故⑦成立。（2）若 $c \geq 1$，由③
④，得 $h^{\prime}(x)<0$，故 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上为减函数，从而 $h(x)<h(0)=0$，即 $f(x)<c x g(x)+(1-c) x$，故⑧成立．综合⑦⑧，得 $a g(x)+(1-a)<\frac{f(x)}{x}<b g(x)+(1-b)$．
【解析】（I）由 $f(x), g(x)$ 的奇偶性及 $f(x)+g(x)=\mathrm{e}^{x}$，①得：$-f(x)+g(x)=\mathrm{e}^{-x}$．
联立①②解得 $f(x)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right), \quad g(x)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)$．
当 $x>0$ 时， $\mathrm{e}^{x}>1,0<\mathrm{e}^{-x}<1$，故 $f(x)>0$．
又由基本不等式，有 $g(x)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)>\sqrt{\mathrm{e}^{x} \mathrm{e}^{-x}}=1$，即 $g(x)>1$。
（II）由（I ）得 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}+\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2 x}}\right)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right)=g(x)$，
$$
g^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}+\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}-\frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{2 x}}\right)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)=f(x),
$$
当 $x>0$ 时，$\frac{f(x)}{x}>a g(x)+(1-a)$ 等价于 $f(x)>a x g(x)+(1-a) x$，
$$
\frac{f(x)}{x}<b g(x)+(1-b) \text { 等价于 } f(x)<b x g(x)+(1-b) x \text {. }
$$
设函数 $h(x)=f(x)-c x g(x)-(1-c) x$，由⑤⑥，有 $h^{\prime}(x)=g(x)-c g(x)-c x f(x)-(1-c)=(1-c)[g(x)-1]-c x f(x)$。当 $x>0$ 时，（1）若 $c \leq 0$，由③④，得 $h^{\prime}(x)>0$，故 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上为增函数，从而 $h(x)>h(0)=0$，即 $f(x)>c x g(x)+(1-c) x$，故⑦成立．（2）若 $c \geq 1$，由③④，得 $h^{\prime}(x)<0$，故 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上为减函数，从而 $h(x)<h(0)=0$，即 $f(x)<c x g(x)+(1-c) x$，故⑧成立综合⑦⑧，得 $\operatorname{ag}(x)+(1-a)<\frac{f(x)}{x}<b g(x)+(1-b)$．
【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题．
【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决．