函数 f(x)=cos x+(x+1) sin x+1 在…——2022 高考数学第 11 题答案解析

【答案】D

## 【解析】

【分析】利用导数求得 $f(x)$ 的单调区间，从而判断出 $f(x)$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上的最小值和最大值．
【详解】 $f^{\prime}(x)=-\sin x+\sin x+(x+1) \cos x=(x+1) \cos x$ ，
所以 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 和 $\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$ 上 $f^{\prime}(x)>0$ ，即 $f(x)$ 单调递增；
在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 上 $f^{\prime}(x)<0$ ，即 $f(x)$ 单调递减，
又 $f(0)=f(2 \pi)=2, f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}+2, f\left(\frac{3 \pi}{2}\right)=-\left(\frac{3 \pi}{2}+1\right)+1=-\frac{3 \pi}{2}$ ，
所以 $f(x)$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 上的最小值为 $-\frac{3 \pi}{2}$ ，最大值为 $\frac{\pi}{2}+2$ ．
故选：D