在正四棱台 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_ 1…——2023 高考数学第 14 题答案解析

【答案】 $\frac{7 \sqrt{6}}{6} \# \# \frac{7}{6} \sqrt{6}$

## 【解析】

【分析】结合图像，依次求得 $A_{1} O_{1}, A O, A_{1} M$ ，从而利用棱台的体积公式即可得解．

【详解】如图，过 $A_{1}$ 作 $A_{1} M \perp A C$ ，垂足为 $M$ ，易知 $A_{1} M$ 为四棱台 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的高，

因为 $A B=2, A_{1} B_{1}=1, A A_{1}=\sqrt{2}$ ，
则 $A_{1} O_{1}=\frac{1}{2} A_{1} C_{1}=\frac{1}{2} \times \sqrt{2} A_{1} B_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}, A O=\frac{1}{2} A C=\frac{1}{2} \times \sqrt{2} A B=\sqrt{2}$ ，
故 $A M=\frac{1}{2}\left(A C-A_{1} C_{1}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $A_{1} M=\sqrt{A_{1} A^{2}-A M^{2}}=\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，
所以所求体积为 $V=\frac{1}{3} \times(4+1+\sqrt{4 \times 1}) \times \frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{7 \sqrt{6}}{6}$ ．
故答案为：$\frac{7 \sqrt{6}}{6}$ ．