2023 新课标 I 卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $M=\{-2,-1,0,1,2\}, N=\left\{x \mid x^{2}-x-6 \geq 0\right\}$ ，则 $M \cap N=$（ ）

2．已知 $z=\frac{1-\mathrm{i}}{2+2 \mathrm{i}}$ ，则 $z-\bar{z}=(\quad)$

3．已知向量 $\vec{a}=(1,1), \vec{b}=(1,-1)$ ，若 $(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \perp(\vec{a}+\mu \vec{b})$ ，则（）

4．设函数 $f(x)=2^{x(x-a)}$ 在区间 $(0,1)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

5．设椭圆 $C_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1), C_{2}: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ．若 $e_{2}=\sqrt{3} e_{1}$ ，则 $a=()$

6．过点 $(0,-2)$ 与圆 $x^{2}+y^{2}-4 x-1=0$ 相切的两条直线的夹角为 $\alpha$ ，则 $\sin \alpha=$（）

7．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，设甲：$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列；乙：$\left\{\frac{S_{n}}{n}\right\}$ 为等差数列，则（）

8．已知 $\sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}, \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{6}$ ，则 $\cos (2 \alpha+2 \beta)=~(\quad)$ ．

9．有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{6}$ ，其中 $x_{1}$ 是最小值，$x_{6}$ 是最大值，则（ ）

10．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 $L_{p}=20 \times \lg \frac{p}{p_{0}}$ ，其中常数 $p_{0}\left(p_{0}>0\right)$ 是听觉下限间值，$p$ 是实际声压．下表为不同声源的声压级： | 声源 | 与声源的距离 $/ \mathrm{m}$ | 声压级 $/ \mathrm{dB}$ | | :---: | :---: | :---: | | 燃油汽车 | 10 | $60 \sim 90$ | | 混合动力汽车 | 10 | $50 \sim 60$ | | 电动汽车 | 10 | 40 | 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 10 m 处测得实际声压分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ ，则（ ）。

11．已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f(x y)=y^{2} f(x)+x^{2} f(y)$ ，则（ ）．

12．下列物体中，能够被整体放入棱长为 1 （单位： m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有

13．某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课，学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课，并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有 $\_\_\_\_$种（用数字作答）。

14．在正四棱台 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=2, A_{1} B_{1}=1, A A_{1}=\sqrt{2}$ ，则该棱台的体积为 $\_\_\_\_$。

15．已知函数 $f(x)=\cos \omega x-1(\omega>0)$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 有且仅有 3 个零点，则 $\omega$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

16．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ．点 A 在 $C$ 上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $\overrightarrow{F_{1} A} \perp \overrightarrow{F_{1} B}, \overrightarrow{F_{2} A}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{F_{2} B}$ ，则 $C$ 的离心率为 $\_\_\_\_$。

17．已知在 $\triangle A B C$ 中，$A+B=3 C, 2 \sin (A-C)=\sin B$ ． （1）求 $\sin A$ ； ②设 $A B=5$ ，求 $A B$ 边上的高．

18．如图，在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=2, A A_{1}=4$ ．点 $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}, B B_{1}, C C_{1}, D D_{1}$ 上，$A A_{2}=1, B B_{2}=D D_{2}=2, C C_{2}=3$ 。  （1）证明：$B_{2} C_{2} / / A_{2} D_{2}$ ； （2）点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P-A_{2} C_{2}-D_{2}$ 为 $150^{\circ}$ 时，求 $B_{2} P$ ．

19．已知函数 $f(x)=a\left(\mathrm{e}^{x}+a\right)-x$ ． （1）讨论 $f(x)$ 的单调性； （2）证明：当 $a>0$ 时，$f(x)>2 \ln a+\frac{3}{2}$ ．

20．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $\boldsymbol{d}$ ，且 $d>1$ ．令 $b_{n}=\frac{n^{2}+n}{a_{n}}$ ，记 $S_{n}, T_{n}$ 分别为数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和． （1）若 $3 a_{2}=3 a_{1}+a_{3}, S_{3}+T_{3}=21$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）若 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列，且 $S_{99}-T_{99}=99$ ，求 $d$ ．

21．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6 ，乙每次投篮的命中率均为 0.8 ．由抽签确定第 1次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5 ． （1）求第 2 次投篮的人是乙的概率； （2）求第 i 次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P\left(X_{i}=1\right)=1-P\left(X_{i}=0\right)=q_{i}, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $E\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} q_{i}$ ．记前 $n$ 次（即从第 1 次到第 $n$ 次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E(Y)$ 。

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 的距离，记动点 $P$ 的轨迹为 $W$ ． （1）求 $W$ 的方程； （2）已知矩形 $A B C D$ 有三个顶点在 $W$ 上，证明：矩形 $A B C D$ 的周长大于 $3 \sqrt{3}$ ．