已知直四棱柱 A B C D- A_ 1 B_ 1 C_…——2020 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $\frac{\sqrt{2}}{2} \pi$ ．

## 【解析】

## 【分析】

根据已知条件易得 $D_{1} E=\sqrt{3}, D_{1} E \perp$ 侧面 $B_{1} C_{1} C B$ ，可得侧面 $B_{1} C_{1} C B$ 与球面的交线上的点到 $E$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，可得侧面 $B_{1} C_{1} C B$ 与球面的交线是扇形 $E F G$ 的弧 $\overparen{F G}$ ，再根据弧长公式可求得结果．

【详解】如图：

取 $B_{1} C_{1}$ 的中点为 $E, B B_{1}$ 的中点为 $F, C C_{1}$ 的中点为 $G$ ，

因为 $\angle B A D=60^{\circ}$ ，直四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长均为 2 ，所以 $\triangle D_{1} B_{1} C_{1}$ 为等边三角形，所以 $D_{1} E =\sqrt{3}, \quad D_{1} E \perp B_{1} C_{1}$,

又四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为直四棱柱，所以 $B B_{1} \perp$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，所以 $B B_{1} \perp B_{1} C_{1}$ ，

因为 $B B_{1} \cap B_{1} C_{1}=B_{1}$ ，所以 $D_{1} E \perp$ 侧面 $B_{1} C_{1} C B$ ，

设 $P$ 为侧面 $B_{1} C_{1} C B$ 与球面的交线上的点，则 $D_{1} E \perp E P$ ，
因为球的半径为 $\sqrt{5}, D_{1} E=\sqrt{3}$ ，所以 $|E P|=\sqrt{\left|D_{1} P\right|^{2}-\left|D_{1} E\right|^{2}}=\sqrt{5-3}=\sqrt{2}$ ，
所以侧面 $B_{1} C_{1} C B$ 与球面的交线上的点到 $E$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，
因为 $|E F|=|E G|=\sqrt{2}$ ，所以侧面 $B_{1} C_{1} C B$ 与球面的交线是扇形 $E F G$ 的弧 $\overparen{F G}$ ，
因为 $\angle B_{1} E F=\angle C_{1} E G=\frac{\pi}{4}$ ，所以 $\angle F E G=\frac{\pi}{2}$ ，
所以根据弧长公式可得 $\overparen{F G}=\frac{\pi}{2} \times \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \pi$ ．

故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2} \pi$ ．
【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，考查了扇形中的弧长公式，属于中档题．