如图， D 为圆锥的顶点， O 是圆锥底面的圆心， A E…——2020 高考数学第 18 题答案解析

【答案】
（1）证明见解析；
②$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

【解析】

## 【分析】

（1）要证明 $P A \perp$ 平面 $P B C$ ，只需证明 $P A \perp P B, P A \perp P C$ 即可；
（2）以 $O$ 为坐标原点，$O A$ 为 $x$ 轴，$O N$ 为 $y$ 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面

$P C B$ 的法向量为 $\vec{n}$ ，平面 $P C E$ 的法向量为 $\vec{m}$ ，利用公式 $\cos \langle\vec{m}, \vec{n}\rangle=\frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}||\vec{m}|}$ 计算即可得到答案．

【详解】①由题设，知 $\triangle D A E$ 为等边三角形，设 $A E=1$ ，
则 $D O=\frac{\sqrt{3}}{2}, C O=B O=\frac{1}{2} A E=\frac{1}{2}$ ，所以 $P O=\frac{\sqrt{6}}{6} D O=\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，
$P C=\sqrt{P O^{2}+O C^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}, P B=\sqrt{P O^{2}+O B^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$,
又 $\triangle A B C$ 为等边三角形，则 $\frac{B A}{\sin 60^{\circ}}=2 O A$ ，所以 $B A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
$P A^{2}+P B^{2}=\frac{3}{4}=A B^{2}$ ，则 $\angle A P B=90^{\circ}$ ，所以 $P A \perp P B$ ，
同理 $P A \perp P C$ ，又 $P C \cap P B=P$ ，所以 $P A \perp$ 平面 $P B C$ ；
（2）过 $O$ 作 $O N / / B C$ 交 $A B$ 于点 $N$ ，因为 $P O \perp$ 平面 $A B C$ ，以 $O$ 为坐标原点，$O A$ 为 $x$ 轴，$O N$为 $y$ 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则 $E\left(-\frac{1}{2}, 0,0\right), P\left(0,0, \frac{\sqrt{2}}{4}\right), B\left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right), C\left(-\frac{1}{4},-\frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right)$ ，
$\overrightarrow{P C}=\left(-\frac{1}{4},-\frac{\sqrt{3}}{4},-\frac{\sqrt{2}}{4}\right), \quad \overrightarrow{P B}=\left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4},-\frac{\sqrt{2}}{4}\right), \quad \overrightarrow{P E}=\left(-\frac{1}{2}, 0,-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$,
设平面 $P C B$ 的一个法向量为 $\vec{n}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，

由 $\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{P C}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{P B}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{l}-x_{1}-\sqrt{3} y_{1}-\sqrt{2} z_{1}=0 \\ -x_{1}+\sqrt{3} y_{1}-\sqrt{2} z_{1}=0\end{array}\right.$ ，令 $x_{1}=\sqrt{2}$ ，得 $z_{1}=-1, y_{1}=0$ ，
所以 $\vec{n}=(\sqrt{2}, 0,-1)$ ，
设平面 $P C E$ 的一个法向量为 $\vec{m}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$
由 $\left\{\begin{array}{c}\vec{m} \cdot \overrightarrow{P C}=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{P E}=0\end{array}\right.$ ，得 $\left\{\begin{array}{c}-x_{2}-\sqrt{3} y_{2}-\sqrt{2} z_{2}=0 \\ -2 x_{2}-\sqrt{2} z_{2}=0\end{array}\right.$ ，令 $x_{2}=1$ ，得 $z_{2}=-\sqrt{2}, y_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，
所以 $\vec{m}=\left(1, \frac{\sqrt{3}}{3},-\sqrt{2}\right)$
故 $\cos \langle\vec{m}, \vec{n}\rangle=\frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}| \cdot|\vec{m}|}=\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，
设二面角 $B-P C-E$ 的大小为 $\theta$ ，则 $\cos \theta=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题．