＂对任意 x (0, π 2 ), k sin x cos…——2015 高考数学第 12 题答案解析

【答案】B
【解析】当 $k<1$ 时，$k \sin x \cos x=\frac{k}{2} \sin 2 x$ ，构造函数 $f(x)=\frac{k}{2} \sin 2 x-x$ ，则 $f^{\prime}(x)=k \cos 2 x-1<0$ ．故 $f(x)$ 在 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调迷增，故 $f(x)<f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi}{2}<0$ ，则 $k \sin x \cos x<x$ ；当 $k=1$ 时，不等式 $k \sin x \cos x<x$ 等价于 $\frac{1}{2} \sin 2 x<x$ ，构造函数 $g(x)=\frac{1}{2} \sin 2 x-x$ ，则 $g^{\prime}(x)=\cos 2 x-1<0$ ，故 $g(x)$ 在 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 迷增，故 $g(x)<g\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi}{2}<0$ ，则 $\sin x \cos x<x$ 。综上所述，＂对任意 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), k \sin x \cos x<x$＂是＂$k<1$＂的必要不充分条件，

选 B．

【考点定位】导数的应用．

【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题．