2011_退役省自主命题 (2011·理)
16．（ 5 分）（ $2011 \cdot$ 湖南）对于 $n \in N^{+}$，将 $n$
表示 $n=a_{0} \times 2^{k}+a_{1} \times 2^{k-1}+a_{2} \times 2^{k-2}+\ldots+a_{k-1} \times 2^{1}+a_{k} \times 2^{0}$ ，当 $i=0$ 时，$a_{i}=1$ ，当 $1 \leq i \leq k$ 时，$a_{1}$ 为 0 或 1 ．记 $I ~(n)$ 为上述表示中 $\mathrm{a}_{\mathrm{i}}$ 为 0 的个数（例如： $1=1 \times 2^{0}, 4=1 \times 2^{2}+0 \times 2^{1}+0 \times 2^{0}$ ，故 $I ~(1)=0$ ，I（4 $)=2$ ），则
①$I(12)=$ $\_\_\_\_$ ；②$\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=$ $\_\_\_\_$ ．
【解答】
对于 $n \in N^{*}$ ，将 $n$ 表示为 $n=a_{0} \times 2^{k}+a_{1} \times 2^{k-1}+a_{2} \times 2^{k-2}+\cdots+a_{k-1} \times 2^{1}+a_{k} \times 2^{0}$ ，
当 $i=0$ 时，$a_{i}=1$ ，当 $1 \leq i \leq k$ 时，$a_{i}$ 为 0 或 1 ．记 $I(n)$ 为上述表示中 $a_{i}$ 为 0 的个数，（例如1 $=1 \times 2^{0}, 4=1 \times 2^{2}+0 \times 2^{1}+0 \times 2^{0}$ ：故 $I(1)=0, I(4)=2$ ）则
①$I(12)=$ $\_\_\_\_$ ②$\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=$ $\_\_\_\_$
答案：（1）2；（2） 1093
解析：（1）因 $12=1 \times 2^{3}+1 \times 2^{2}+0 \times 2^{1}+0 \times 2^{0}$ ，故 $I(12)=2$ ；
（2）在 2 进制的 $k(k \geq 2)$ 位数中，没有 0 的有 1 个，有 1 个 0 的有 $C_{k-1}^{1}$ 个，有 2 个 0 的有 $C_{k-1}^{2}$个，$\cdots \cdots$ 有 $m$ 个 0 的有 $C_{k-1}^{m}$ 个，$\cdots \cdots$ 有 $k-1$ 个 0 的有 $C_{k-1}^{k-1}=1$ 个。故对所有2进制为 $k$ 位数的数 $n$ ，在所求式中的 $2^{I(n)}$ 的和为：
$1 \cdot 2^{0}+C_{k-1}^{1} \cdot 2^{1}+C_{k-1}^{2} \cdot 2^{2}+\cdots+C_{k-1}^{k-1} \cdot 2^{k-1}=3^{k-1} 。$
又 $127=2^{7}-1$ 恰为 2 进制的最大 7 位数，所以 $\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=2^{0}+\sum_{k=2}^{7} 3^{k-1}=1093$ 。
三。