2016_江苏卷 (2016)
13．（5分）（2016•江苏）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， D 是 BC 的中点， $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是 AD 上的两个三等分点， $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=4, \overrightarrow{\mathrm{BF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}=-1$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}$ 的值是 $\_\_\_\_$。
$\frac{7}{8}$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
同一个知识，换种问法
匹配依据：平面向量的数量积换个题面，方法仍然适用
匹配依据：向量法 · 坐标法【解答】
（5分）（2016•江苏）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， D 是 BC 的中点， $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是 AD 上的两个三等分点， $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=4, \overrightarrow{\mathrm{BF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}=-1$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}$ 的值是 $-\frac{7}{8}$－
【分析】由已知可得 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{CF}}=-\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}+3 \overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{CA}}=-\overrightarrow{\mathrm{BD}}+3 \overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}+ 2 \overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{CE}}=-\overrightarrow{\mathrm{BD}}+2 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，结合已知求出 $\overrightarrow{\mathrm{DF}}^{2}=\frac{5}{8}, \overrightarrow{\mathrm{BD}}^{2}=\frac{13}{8}$ ，可得答案。
【解答】解：$\because \mathrm{D}$ 是 BC 的中点， $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是 AD 上的两个三等分点，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BF}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{CF}}=-\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}+3 \overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{CA}}=-\overrightarrow{\mathrm{BD}}+3 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$,
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BF}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{DF}}^{2}-\overrightarrow{\mathrm{BD}}^{2}=-1$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=9 \overrightarrow{\mathrm{DF}}^{2}-\overrightarrow{\mathrm{BD}}^{2}=4$,
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{DF}}^{2}=\frac{5}{8}, \quad \overrightarrow{\mathrm{BD}}^{2}=\frac{13}{8}$ ，
又 $\because \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}+2 \overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{CE}}=-\overrightarrow{\mathrm{BD}}+2 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}=4 \overrightarrow{\mathrm{DF}}^{2}-\overrightarrow{\mathrm{BD}}^{2}=\frac{7}{8}$ ，
故答案为：$\frac{7}{8}$
【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．
已知向量 $\vec{a}=(0,1), \vec{b}=(2, x)$ ，若 $\vec{b} \perp(\vec{b}-4 \vec{a})$ ，则 $x=$（ ）
已知向量 $\vec{a}=(1,1), \vec{b}=(1,-1)$ ，若 $(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \perp(\vec{a}+\mu \vec{b})$ ，则（ ）
已知向量 $\vec{a}=(m, 3), \vec{b}=(1, m+1)$ ．若 $\vec{a} \perp \vec{b}$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．