2016_江苏卷 (2016)
13．（5分）（2016•江苏）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， D 是 BC 的中点， $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是 AD 上的两个三等分点， $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=4, \overrightarrow{\mathrm{BF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}=-1$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}$ 的值是 $\_\_\_\_$。
【解答】
（5分）（2016•江苏）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， D 是 BC 的中点， $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是 AD 上的两个三等分点， $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=4, \overrightarrow{\mathrm{BF}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CF}}=-1$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}$ 的值是 $-\frac{7}{8}$－
【分析】由已知可得 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{CF}}=-\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}+3 \overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{CA}}=-\overrightarrow{\mathrm{BD}}+3 \overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}+ 2 \overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{CE}}=-\overrightarrow{\mathrm{BD}}+2 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，结合已知求出 $\overrightarrow{\mathrm{DF}}^{2}=\frac{5}{8}, \overrightarrow{\mathrm{BD}}^{2}=\frac{13}{8}$ ，可得答案。
【解答】解：$\because \mathrm{D}$ 是 BC 的中点， $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是 AD 上的两个三等分点，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BF}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{CF}}=-\overrightarrow{\mathrm{BD}}+\overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}+3 \overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{CA}}=-\overrightarrow{\mathrm{BD}}+3 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$,
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BF}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{CF}}=\overrightarrow{\mathrm{DF}}^{2}-\overrightarrow{\mathrm{BD}}^{2}=-1$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=9 \overrightarrow{\mathrm{DF}}^{2}-\overrightarrow{\mathrm{BD}}^{2}=4$,
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{DF}}^{2}=\frac{5}{8}, \quad \overrightarrow{\mathrm{BD}}^{2}=\frac{13}{8}$ ，
又 $\because \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{BD}}+2 \overrightarrow{\mathrm{DF}}, \overrightarrow{\mathrm{CE}}=-\overrightarrow{\mathrm{BD}}+2 \overrightarrow{\mathrm{DF}}$ ，
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BE}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CE}}=4 \overrightarrow{\mathrm{DF}}^{2}-\overrightarrow{\mathrm{BD}}^{2}=\frac{7}{8}$ ，
故答案为：$\frac{7}{8}$
【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档．