2013_大纲版 (2013·理)
15．（5分）记不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 0 \\ x+3 y \geqslant 4 \text { 所表示的平面区域为D．若直线 } y=a(x+1) \text { 与 } \\ 3 x+y \leqslant 4\end{array}\right.$ D 有公共点，则 a 的取值范围是 $\left[\frac{1}{2}, 4\right]$ ．
$\left[\frac{1}{2}, 4\right]$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】7C：简单线性规划．
【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件
$\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 0 \\ x+3 y \geqslant 4 \text { 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入 } y=a( \\ 3 x+y \leqslant 4\end{array}\right.$
$x+1)$ 中，求出 $y=a(x+1)$ 对应的 $a$ 的端点值即可．
【解答】解：满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 0 \\ x+3 y \geqslant 4 \text { 的平面区域如图示：} \\ 3 x+y \leqslant 4\end{array}\right.$
因为 $y=a(x+1)$ 过定点（ $-1,0$ ）．
所以当 $y=a(x+1)$ 过点 $B(0,4)$ 时，得到 $a=4$ ，
当 $y=a(x+1)$ 过点 $A(1,1)$ 时，对应 $a=\frac{1}{2}$ ．
又因为直线 $y=a(x+1)$ 与平面区域 $D$ 有公共点．
所以 $\frac{1}{2} \leq \mathrm{a} \leq 4$ ．
故答案为：$\left[\frac{1}{2}, 4\right]$
【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用＂角点法＂，其步骤为：①由约束条件画出可行域 ⇒②求出可行域各个角点的坐标 ⇒③将坐标逐一代入目标函数 ⇒④验证，求出最优解．