设正实数 x, y, z 满足 x^ 2 -3 x y+4…——2013 高考数学第 12 题答案解析

【解答】
（5分）（2013．山东）设正实数 $x, y, z$ 满足 $x^{2}-3 x y+4 y^{2}-z=0$ ．则当 $\frac{x y}{z}$ 取得最大值时，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}$ 的最大值为（ ）
A． 0
B． 1
C．$\frac{9}{4}$
D． 3

考点：基本不等式。
专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．
分析：依题意，当 $\frac{x y}{z}$ 取得最大值时 $x=2 y$ ，代入所求关系式 $f(y)=\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}$ ，利用配方法即可求得其最大值．
解答：解：$\because x^{2}-3 x y+4 y^{2}-z=0$ ，
$\therefore z=x^{2}-3 x y+4 y^{2}$ ，又 $x, y, z$ 均为正实数，
$\therefore \frac{x y}{z}=\frac{x y}{x^{2}-3 x y+4 y^{2} \frac{x}{y}+\frac{4 y}{x}-3} \leqslant \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{y} \times \frac{4 y}{x}}-3}=1$（当且仅当 $x=2 y$ 时取＂$=$＂），
$\therefore\left(\frac{x y}{z}\right)_{\text {max }}=1$ ，此时，$x=2 y$ ．
$\therefore z=x^{2}-3 x y+4 y^{2}=(2 y)^{2}-3 \times 2 y \times y+4 y^{2}=2 y^{2}$ ，
$\therefore \frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z} \frac{1}{y}+\frac{1}{y}-\frac{1}{y^{2}}=-\left(\frac{1}{y}-1\right)^{2}+1 \leqslant 1$ ．
$\therefore \frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}$ 的最大值为 1 ．
故选B．

点评：本题考查基本不等式，由 $\frac{x y}{z}$ 取得最大值时得到 $x=2 y$ 是关键，考查配方法求最值，属于中档题．