18．（本小题满分 13 分）
如图2，四边形 ABCD 为矩形， $\mathrm{PD} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AB}=1, \mathrm{BC}=\mathrm{PC}=2$ ，作如图3折叠，折痕 $\mathrm{EF} \| \mathrm{DC}$ 。其中点 E ， F 分别在线段 $\mathrm{PD}, \mathrm{PC}$上，沿 EF 折叠后点 P 在线段 AD 上的点记为 M ，并且 $\mathrm{MF} \perp \mathrm{CF}$ ．
（1）证明： $\mathrm{CF} \perp$ 平面 MDF
（2）求三棱锥M－CDE的体积．
（本小题满分 13 分） 如图2，四边形 ABCD 为矩形…——2014 高考数学第 16 题答案解析
2014_退役省自主命题 (2014·文)
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【解答】
解：证明：（1）
$\because P D \perp$ 面 $A B C D$ ，且 $\mathrm{PD} \subseteq$ 面 $P C D$ ．
∴ 面 $P C D \perp$ 面 $A B C D$ ，交线为 $C D$ ．
又 ∵ 四边形 $A B C D$ 为矩形，$A D \perp C D, A D \subseteq$ 面 $A B C D$
$\therefore M D \perp$ 面 $P C D$ ，又由于 $C F \subseteq$ 面 $P C D$
$\therefore M D \perp C F$ ．
$\because M F \perp C F$, 且 $M D \cap M F=M$
$\therefore C F \perp$ 面 $M D F$
解：$\because M D \perp$ 面 $P C D$
②
$\therefore V_{M-C D E}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle C D E} \cdot M D$ ．
$\because C F \perp$ 面 $M D F, D F \subseteq$ 面 $M D F$ ．
$\therefore C F \perp D F$
∵ 在 $R T \triangle P C D$ 中，$C D=1, P C=2$
$\therefore \angle P C D=60^{\circ}$ ，且 $C D=1$
$\therefore C F=\frac{1}{2}$ ，故 $P F=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ ．
$\therefore M F=\frac{3}{2}$.
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