如图，直四棱柱 A B C D- A_ 1 B_ 1 C_…——2019 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）见解析；②$\frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

## 【解析】

## 【分析】

（1）利用三角形中位线和 $A_{1} D / / B_{1} C$ 可证得 $M E / / N D$ ，证得四边形 $M N D E$ 为平行四边形，进而证得 $M N / / D E$ ，根据线面平行判定定理可证得结论；②以菱形 $A B C D$ 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取 $A B$ 中点 $F$ ，可证得 $D F \perp$ 平面 $A M A_{1}$ ，得到平面 $A M A_{1}$ 的法向量 $\underset{D F}{\text { UM }}$ ；再通过向量法求得平面 $M A_{1} N$ 的法向量 $\vec{n}$ ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值．

【详解】（1）连接 $M E, B_{1} C$

$\because M, E$ 分别为 $B B_{1}, B C$ 中点 $\therefore M E$ 为 $\triangle B_{1} B C$ 的中位线
$\therefore M E / / B_{1} C$ 且 $M E=\frac{1}{2} B_{1} C$
又 $N$ 为 $A_{1} D$ 中点，且 $A_{1} D / / B_{1} C \quad \therefore N D / / B_{1} C$ 且 $N D=\frac{1}{2} B_{1} C$
$\therefore M E / / N D \therefore$ 四边形 $M N D E$ 为平行四边形
$\therefore M N / / D E$ ，又 $M N \not \subset$ 平面 $C_{1} D E, D E$ Ì 平面 $C_{1} D E$
$\therefore M N / /$ 平面 $C_{1} D E$
（2）设 $A C \bigcap B D=O, A_{1} C_{1} \bigcap B_{1} D_{1}=O_{1}$

由直四棱柱性质可知：$O O_{1} \perp$ 平面 $A B C D$
∵ 四边形 $A B C D$ 为菱形 $\therefore A C \perp B D$
则以 $O$ 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则：$A(\sqrt{3}, 0,0), M(0,1,2), A_{1}(\sqrt{3}, 0,4), \mathrm{D}(0,-1,0) N\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}, 2\right)$

取 $A B$ 中点 $F$ ，连接 $D F$ ，则 $F\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$
∵ 四边形 $A B C D$ 为菱形且 $\angle B A D=60^{\circ} \quad \therefore \triangle B A D$ 为等边三角形 ∴ $\quad \therefore D F \perp A B$
又 $A A_{1} \perp$ 平面 $A B C D, D F \subset$ 平面 $A B C D \quad \therefore D F \perp A A_{1}$
$\therefore D F \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，即 $D F \perp$ 平面 $A M A_{1}$
$\therefore \overrightarrow{D F}$ 为平面 $A M A_{1}$ 的一个法向量，且 $\overrightarrow{D F}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, 0\right)$
设平面 $M A_{1} N$ 的法向量 $\vec{n}=(x, y, z)$ ，又 $\overrightarrow{M A_{1}}=(\sqrt{3},-1,2), \overrightarrow{M N}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}, 0\right)$
$\therefore\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{M A_{1}}=\sqrt{3} x-y+2 z=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{M N}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{3}{2} y=0\end{array}\right.$ ，令 $x=\sqrt{3}$ ，则 $y=1, z=-1 \quad \therefore \vec{n}=(\sqrt{3}, 1,-1)$
$\therefore \cos <\overrightarrow{D F}, \vec{n}>=\frac{\overrightarrow{D F} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{D F}| \cdot|\vec{n}|}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{5} \quad \therefore \sin <\overrightarrow{D F}, \vec{n}>=\frac{\sqrt{10}}{5}$
∴ 二面角 $A-M A_{1}-N$ 的正弦值为：$\frac{\sqrt{10}}{5}$
【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题．求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型．