（几何证明选讲选做题）如图4，点 A, B, C 是圆 O…——2009 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
解法一：连结 $\mathrm{OA}, \mathrm{OB}$ ，则 $\angle \mathrm{AOB}=2 \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$ ，
所以 $\triangle \mathrm{AOB}$ 为等腰直角三角形，又 $A B=4$ ，
所以，圆 O 的半径 $\mathrm{R}=2 \sqrt{2}$ ，圆 $O$ 的面积等于 $\pi R^{2}=\pi \times(2 \sqrt{2})^{2}=8 \pi$
解法二：设圆 O 的半径为 R ，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，由正弦定理，

$$ \text { 得 } \frac{4}{\sin 45^{\circ}}=2 R \text {, 解得 } \mathrm{R}=2 \sqrt{2} \text {, } $$

所以，圆 $O$ 的面积等于 $\pi R^{2}=\pi \times(2 \sqrt{2})^{2}=8 \pi$