如图，长方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_ 1…——2019 高考数学第 17 题答案解析

【答案】（1）见详解；（2） 18
【解析】
【分析】
（1）先由长方体得，$B_{1} C_{1} \perp$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ，得到 $B_{1} C_{1} \perp B E$ ，再由 $B E \perp E C_{1}$ ，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；
（2）先设长方体侧棱长为 $2 a$ ，根据题中条件求出 $a=3$ ；再取 $B B_{1}$ 中点 $F$ ，连结 $E F$ ，证明 $E F \perp$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果．

【详解】（1）因为在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$B_{1} C_{1} \perp$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ； $B E \subset$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ，所以 $B_{1} C_{1} \perp B E$ ，又 $B E \perp E C_{1}, B_{1} C_{1} \cap E C_{1}=C_{1}$ ，且 $E C_{1} \subset$ 平面 $E B_{1} C_{1}, B_{1} C_{1} \subset$ 平面 $E B_{1} C_{1}$ ，所以 $B E \perp$ 平面 $E B_{1} C_{1}$ ；
（2）设长方体侧棱长为 $2 a$ ，则 $A E=A_{1} E=a$ ，

由（1）可得 $E B_{1} \perp B E$ ；所以 $E B_{1}^{2}+B E^{2}=B B_{1}^{2}$ ，即 $2 B E^{2}=B B_{1}^{2}$ ，

又 $A B=3$ ，所以 $2 A E^{2}+2 A B^{2}=B B_{1}{ }^{2}$ ，即 $2 a^{2}+18=4 a^{2}$ ，解得 $a=3$ ；

取 $B B_{1}$ 中点 $F$ ，连结 $E F$ ，因为 $A E=A_{1} E$ ，则 $E F / / A B$ ；

所以 $E F \perp$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ，

所以四棱锥 $E-B B_{1} C_{1} C$ 的体积为
$V_{E-B B_{1} C_{1} C}=\frac{1}{3} S_{\text {矩形 } B B_{1} C_{1} C} \cdot E F=\frac{1}{3} \cdot B C \cdot B B_{1} \cdot E F=\frac{1}{3} \times 3 \times 6 \times 3=18$ ．

【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型．