2014_退役省自主命题 (2014·文)
22．（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲
如图， EP 交圆于 $\mathrm{E} , \mathrm{C}$ 两点， PD 切圆于 $\mathrm{D}, \mathrm{G}$ 为 CE 上一点且 $P G=P D$ ，连接 DG 并延长交圆于点 A ，作。弦 AB 垂直 EP ，垂足为 F 。
（I）求证： AB 为圆的直径；
（II）若 $\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$ ，求证： $\mathrm{AB}=\mathrm{ED}$ ．
## 【答案】（I）详见解析；（II）详见解析
## 【解析】
试题分析：（I）要证明 $A B$ 为圆的直径，只需证明 $\angle B D A=90^{\circ}$ ，结合 $\angle G F A=90^{\circ}$ ，在 $\triangle G F A$ 和 $\triangle B D A$中，只需证明 $\angle D B A=\angle F G A$ ，从而转儿为证明 $\angle D B A=\angle D G P$ ，由弦切角定理以及 $P G=P D$ 很容易证明；（II）要证明 $E D=A B$ ，由（I）得，只需证明 $E D$ 圆的直径。连接 $B C , D C$ ，只需证明 $D C \perp E P$ ．只需证明 $D C / / A B$ 。因为 $R t \triangle B D A \cong R t \triangle A C B$ ，故 $\angle D A B=\angle C B A$ ，根据同弧所对的圆周角相等得 $\angle D C B=\angle D A B$ ，故 $\angle D C B=\angle C B A$ ，从而．得证
试题解析：（I）因为 $P G=P D$ ．所以 $\angle P D G=\angle P G D$ ．由于 $P D$ 为切线，所以 $\angle P D A=\angle D B A$ ．又由于 $\angle P G D=\angle E G A$ ，所以 $\angle D B A=\angle E G A$ ．目于 $A F \perp E P$ ，所以 $\angle P F A=90^{\circ}, \angle B D A=90^{\circ}$ ．故 $A B$为圆的直径．
（II）连接 $B C , D C$ ．由于 $A B$ 是直径，故 $\angle P D A=\angle A C B=90^{\circ}$ ．在 Rt $\triangle B D A$ 和 Rt $\triangle A C B$ 中，$A B=B A$ ， $A C=B D$ ．从而Rt $\triangle B D A \cong R t \triangle A C B$ ．于是 $\angle D A B=\angle C B A$ ．又因为 $\angle D C B=\angle D A B$ ，所以 $\angle D C B=\angle C B A$ ．又因为 $\angle D C B=\angle D A B$ ，所以 $\angle D C B=\angle C B A$ ．故 $D C / / A B$ ．由于 $A B \perp E P$ ，所以 $D C \perp E P, \angle D C E$ 为直角．于是 $E D$ 为直径．由（I）得，$E D=A B$ ．
【考点定位】1、三角形全等；2、弦切角定理；3、圆的性质．