（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如图，…——2014 高考数学第 21 题答案解析

（I）因为 $PG=PD$，所以 $\triangle PDG$ 为等腰三角形，故 $\angle PDG = \angle PGD$。
又因为 $\angle PGD$ 与 $\angle EGA$ 为对顶角，所以 $\angle PGD = \angle EGA$，从而 $\angle PDG = \angle EGA$。
因为 $PD$ 切圆于点 $D$，根据弦切角定理，$\angle PDA = \angle DBA$（即 $\angle PDG = \angle DBA$）。
综合上述关系，可得 $\angle DBA = \angle EGA$。
已知 $AB \perp EP$，垂足为 $F$，所以在 Rt$\triangle AFG$ 中，$\angle EGA + \angle FAG = 90^\circ$。
代换得 $\angle DBA + \angle FAG = 90^\circ$。
在 $\triangle ABD$ 中，$\angle BDA = 180^\circ - (\angle DBA + \angle DAB)$。
因为点 $F$ 在 $AB$ 上，$\angle FAG$ 即为 $\angle DAB$，所以 $\angle BDA = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$。
因为圆周角 $\angle BDA = 90^\circ$，所以其所对的弦 $AB$ 为圆的直径。

（II）连接 $BC, DC$。
由（I）知 $AB$ 为直径，所以 $\angle ACB = 90^\circ$。
同理，若证得 $ED$ 为直径，则 $ED=AB$。为此只需证明 $\angle DCE = 90^\circ$，即证明 $DC \perp EP$。
因为 $AB \perp EP$，若 $DC \parallel AB$，则 $DC \perp EP$ 成立。
在 Rt$\triangle BDA$ 和 Rt$\triangle ACB$ 中：
$AB$ 为公共斜边，且已知 $AC=BD$。
由 HL 定理可知，Rt$\triangle BDA \cong$ Rt$\triangle ACB$。
所以对应角相等，即 $\angle DAB = \angle CBA$。
又因为 $\angle DAB$ 和 $\angle DCB$ 均为弧 $DB$ 所对的圆周角，所以 $\angle DAB = \angle DCB$。
从而 $\angle DCB = \angle CBA$。
观察直线 $DC$ 和 $AB$ 被直线 $BC$ 所截，$\angle DCB$ 与 $\angle CBA$ 为内错角。
因为内错角相等，所以 $DC \parallel AB$。
因为 $AB \perp EP$，所以 $DC \perp EP$，即 $\angle DCE = 90^\circ$。
所以 $DE$ 为圆的直径。
因为同圆的直径相等，所以 $AB = ED$。