（本小题满分 12 分） 如图，在棱长为 2 的正方体 A…——2014 高考数学第 19 题答案解析

【答案】（1）详见解析；②$\lambda=1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$
【解析】

试题分析：（1）由正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的性质得 $B C_{1} / / A D_{1}$，当 $\lambda=1$ 时，证明 $F P / / A D_{1}$，由平行于同一条直线的两条直线平行得 $B C_{1} / / F P$，根据线面平行的判定定理证明 $B C_{1} / /$ 平面 $E F P Q$；（2）解法 1，如图 2，连结 $B D$，证明四边形 $E F P Q$ 与四边形 $P Q M N$ 是等晒梯形，分别取 $E F, P Q, M N$ 的中点为 $H$、 $O, G$，连结 $O H, O G$，证明 $\angle G O H$ 是平面 $F F P Q$ 与平面 $P O M N$ 所成的二面角的平面角，设存在 $\lambda$，使平面 $E F P Q$ 与平面 $P Q M N$ 所成的二面角为直二面角，求出 $\lambda$ 的值；解法 2，以 $D$ 为原点，射线 $D A, D C, D D_{1}$ 分别为 $x, y, z$ 轴的正半轴建立加图 3 的空间直角坐标系 $D-x y z$，用向量法求解．

试题解析：几何法：
（1）证明：如图 1，连结 $A D_{1}$，由 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体，知 $B C_{1} / / A D_{1}$，
当 $\lambda=1$ 时，$P$ 是 $D D_{1}$ 的中点，又 $F$ 是 $A D$ 的中点，所以 $F P / / A D_{1}$，
所以 $B C_{1} / / F P$，
而 $F P \subset$ 平面 $E F P Q$，且 $B C_{1} \not \subset$ 平面 $E F P Q$，
故 $B C_{1} / /$ 平面 $E F P Q$．
（2）如图 2，连结 $B D$，因为 $E, F$ 分别是 $A B, A D$ 的中点，
所以 $E F / / B D$，且 $E F=\frac{1}{2} B D$，又 $D P=B Q, D P / / B Q$，
所以四边形 $P Q B D$ 是平行四边形，
故 $P Q / / B D$，且 $P Q=B D$，
从而 $E F / / P Q$，且 $E F=\frac{1}{2} P Q$，
在 Rt $\triangle E B Q$ 和 Rt $\triangle F D P$ 中，因为 $B Q=D P=\lambda, B E=D F=1$，
于是，$E Q=F P=\sqrt{1+\lambda^{2}}$，所以四边形 $E F P Q$ 是等腰梯形，
同理可证四边形 $P Q M N$ 是等腰梯形，
分别取 $E F, P Q, M N$ 的中点为 $H, O, G$，连结 $O H, O G$，
则 $G O \perp P Q, ~ H O \perp P Q$，而 $G O \bigcap H O=O$，
故 $\angle G O H$ 是平面 $E F P Q$ 与平面 $P Q M N$ 所成的二面角的平面角，

若存在 $\lambda$，使平面 $E F P Q$ 与平面 $P Q M N$ 所成的二面角为直二面角，则 $\angle G O H=90^{\circ}$，
连结 $E M, F N$，则由 $E F / / M N$，且 $E F=M N$，知四边形 $E F N M$ 是平行四边形，
连结 $G H$，因为 $H, G$ 是 $E F, M N$ 的中点，所以 $G H=M E=2$，
在 $\triangle G O H$ 中，$G H^{2}=4, O H^{2}=1+\lambda^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\lambda^{2}+\frac{1}{2}$，
$O G^{2}=1+(2-\lambda)^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=(2-\lambda)^{2}+\frac{1}{2}$,
由 $O G^{2}+O H^{2}=G H^{2}$ 得 $(2-\lambda)^{2}+\frac{1}{2}+\lambda^{2}+\frac{1}{2}=4$，解得 $\lambda=1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，
故存在 $\lambda=1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，使平面 $E F P Q$ 与平面 $P Q M N$ 所成的二面角为直二面角．
向量法：
以 $D$ 为原点，射线 $D A, D C, D D_{1}$ 分别为 $x, y, z$ 轴的正半轴建立如图 3 的空间直角坐标系 $D-x y z$，

第 19 题解答图 1

第 19 题解答图 2

第19题解答图3

由已知得 $B(2,2,0), C_{1}(0,2,2), F(1,0,0), P(0,0, \lambda)$，
所以 $\overrightarrow{B C_{1}}=(-2,0,2), \overrightarrow{F P}=(-1,0, \lambda), \overrightarrow{F E}=(1,1,0)$，
（1）证明：当 $\lambda=1$ 时， $\overrightarrow{F P}=(-1,0,1)$，因为 $\overrightarrow{B C_{1}}=(-2,0,2)$，
所以 $\overrightarrow{B C_{1}}=2 \overrightarrow{F P}$，即 $B C_{1} / / F P$，
而 $F P \subset$ 平面 $E F P Q$，且 $B C \subset \not \subset$ 平面 $E F P Q$，
故直线 $B C_{1} / /$ 平面 $E F P Q$．
（2）设平面 $E F P Q$ 的一个法向量 $\mathbf{n}=(x, y, z)$，

由 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{F E} \bullet \mathbf{n}=0 \\ F \dot{P} \bullet \mathbf{n}=0\end{array}\right.$ 可得 $\left\{\begin{array}{l}x+y=0 \\ -x+\lambda z=0\end{array}\right.$，于是取 $\mathbf{n}=(\lambda,-\lambda, 1)$，
同理可得平面 $M N P Q$ 的一个法向量为 $\mathbf{m}=(\lambda-2,2-\lambda, 1)$，

若存在 $\lambda$，使平面 $E F P Q$ 与平面 $P Q^{\prime} I N$ 所成的二面角＂直二面角，

则 $\mathbf{m} \bullet \mathbf{n}=(\lambda-2,2-\lambda, 1) \bullet(\lambda,-\lambda, 1)=0$，

即 $\lambda(\lambda-2)-\lambda(2-\lambda)+1=0$，解得 $\lambda=1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，

故存在 $\lambda=1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，使平面 $E F P Q$ 与平面 $P Q \backslash N$ 学科沙所成的二面角为直二面角．
考点：正方体的性质，空间中的线线、线面、面面平行于垂直，二面角．