（本小题满分 12 分） 如图，在棱长为 2 的正方体 A…——2014 高考数学第 19 题答案解析

以 $D$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DD_1}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $D-xyz$。
由题意可知，正方体棱长为 2，则各点坐标如下：
$D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0)$
$D_1(0,0,2), A_1(2,0,2), B_1(2,2,2), C_1(0,2,2)$

因为 $E, F, M, N$ 分别是 $AB, AD, A_1B_1, A_1D_1$ 的中点，所以：
$E(2,1,0), F(1,0,0), M(2,1,2), N(1,0,2)$

因为 $P, Q$ 分别在 $DD_1, BB_1$ 上，且 $DP=BQ=\lambda$，所以：
$P(0,0,\lambda), Q(2,2,\lambda)$

（1）当 $\lambda=1$ 时，$P(0,0,1)$。
此时 $\overrightarrow{FP} = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$。
又 $\overrightarrow{BC_1} = (0-2, 2-2, 2-0) = (-2, 0, 2)$。
显然 $\overrightarrow{BC_1} = 2\overrightarrow{FP}$，即 $\overrightarrow{BC_1} // \overrightarrow{FP}$，所以直线 $BC_1 // FP$。
因为 $FP \subset$ 平面 $EFPQ$，且 $BC_1 \not\subset$ 平面 $EFPQ$，
所以直线 $BC_1 //$ 平面 $EFPQ$。

（2）设平面 $EFPQ$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}=(x,y,z)$。
$\overrightarrow{FE} = (2-1, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$，
$\overrightarrow{FP} = (0-1, 0-0, \lambda-0) = (-1, 0, \lambda)$。
由 $\begin{cases} \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{FE} = 0 \\ \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{FP} = 0 \end{cases}$，得 $\begin{cases} x+y=0 \\ -x+\lambda z=0 \end{cases}$。
令 $z=1$，则 $x=\lambda, y=-\lambda$，故取 $\boldsymbol{n}=(\lambda, -\lambda, 1)$。

同理，求平面 $PQMN$ 的法向量 $\boldsymbol{m}$。
$\overrightarrow{NM} = (2-1, 1-0, 2-2) = (1, 1, 0)$，
$\overrightarrow{NP} = (0-1, 0-0, \lambda-2) = (-1, 0, \lambda-2)$。
由 $\begin{cases} \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{NM} = 0 \\ \boldsymbol{m} \cdot \overrightarrow{NP} = 0 \end{cases}$，得 $\begin{cases} x'+y'=0 \\ -x'+(\lambda-2)z'=0 \end{cases}$。
令 $z'=1$，则 $x'=\lambda-2, y'=-(\lambda-2)=2-\lambda$，故取 $\boldsymbol{m}=(\lambda-2, 2-\lambda, 1)$。

若平面 $EFPQ$ 与平面 $PQMN$ 所成的二面角为直二面角，则两平面的法向量互相垂直，即 $\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m} = 0$。
$\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m} = \lambda(\lambda-2) + (-\lambda)(2-\lambda) + 1 \times 1 = 0$
$\lambda^2 - 2\lambda - 2\lambda + \lambda^2 + 1 = 0$
$2\lambda^2 - 4\lambda + 1 = 0$
解得 $\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为 $0 < \lambda < 2$，且 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.29 > 0$，$1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1.71 < 2$，
所以两个解均符合题意。
故存在 $\lambda = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，使平面 $EFPQ$ 与平面 $PQMN$ 所成的二面角为直二面角。