设函数 f(x)= e^ x +x-a (a R, e 为…——2013 高考数学第 10 题答案解析

【答案】A
【解析】 $\because f(x)=\sqrt{e^{x}+x-a}$ 在定以域上单调递增，$\therefore \exists b \in[0,1]$，使得 $f(f(b))=b$ 成立 $\Leftrightarrow \exists b \in[0,1]$，使得 $f(b)=b$，即等价士方程 $f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 有解，于是 $a=e^{x}+x-x^{2}$ 在 $[0,1]$有解，所以 $a$ 的取值范围就是函数 $g(x)=e^{x}+x-x^{2}, x \in[0,1]$ 的值域，$\because g^{\prime}(x)=e^{x}+1-2 x$ 在 $[0,1]$ 恒为正，$\therefore$ 函数 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调速增，所以 $g(x) \in[1, e]$，故 $a$ 的取值范围是 $[1, e]$，选 A．【考点定位】本题考查函数图象与性质的应用，函数零点、方程的根和函数图象与 $x$ 轴交点三者间的关系，考查推理论证、运算求解和创新意识，本题具有高等数学背景，较难。

## 第二部分（非选择题 共 100 分）

## 注意事项：

必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。

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