已知函数 y=f(x) 的定义域为 R，下列是 f(x)…——2021 高考数学第 15 题答案解析

【解析】：根据题意，依次判断选项：
对于 $A, ~ f(x)=\cos \frac{\pi x}{2}+1, ~ f(x)$ 为偶函数，且关于点 $(1,1)$ 对称，存在最大值，$A$ 错误，对于 $B, ~ f(x)=\cos (\pi x), ~ f(x)$ 为偶函数且关于直线 $x=1$ 对称，存在最大值，$B$ 错误，对于 $C$ ，假设 $f(x)$ 有最大值，设其最大值为 $M$ ，其最高点的坐标为 $(a, M)$ ， $f(x)$ 为奇函数，其图象关于原点对称，则 $f(x)$ 的图象存在最低点 $(-a,-M)$ ，又由 $f(x)$ 的图象关于点 $(1,1)$ 对称，则 $(-a,-M)$ 关于点 $(1,1)$ 对称的点为 $(2+a, 2+M)$ ，与最大值为 $M$ 相矛盾，则此时 $f(x)$ 无最大值，$C$ 正确，
对于 $D, ~ f(x)=\sin \frac{\pi x}{2}, ~ f(x)$ 为奇函数且关于直线 $x=1$ 对称，$D$ 错误，
故选：$C$ 。
【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．