2013_退役省自主命题 (2013·文)
19、（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C$ 中，侧棱 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C, A B=A C=2 A A_{1}=2$， $\angle B A C=120^{\circ}, D, D_{1}$ 分别是线段 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$是线段 $A D$ 上异于端点的点。
（I）在平面 $A B C$ 内，试作出过点 $P$ 与平面 $A_{1} B C$平行的直线 $l$，说明理由，并证明直线 $l \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$；
（II）设（I）中的直线 $l$ 交 $A C$ 于点 $Q$，求三棱锥
$A_{1}-Q C_{1} D$ 的体积．（锥体体积公式：$V=\frac{1}{3} S h$，其中 $S$ 为底面面积，$h$ 为高）
【答案】（I）在平面 $A B C$ 内，过点 $P$ 作直线 $l / / B C$；（II）$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
【解析】（I）如图，在平面 $A B C$ 内，过点 $P$ 作直线 $l / / B C$，
因为 $l$ 在平面 $A_{1} B C$ 外，$B C$ 在平面 $A_{1} B C$ 内，由直线与平面平行的判定定理可知，
$l / /$ 平面 $A_{1} B C$，
由已知 $A B=A C, D$ 为线段 $B C$ 的中点，
所以，$B C \perp A D$，则直线 $l \perp A D$．
因为 $A A_{1} \perp$ 平面 $A B C$，所以 $A A_{1} \perp$ 直线 $l$，
又因为 $A D, A A_{1}$ 在平面 $A D D_{1} A_{1}$ 内，且 $A D$ 与 $A A_{1}$ 相交，
所以直线 $l \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$．
（II）过 $D$ 作 $D E \perp A C$ 于 $E$．
$\because A A_{1} \perp$ 平面 $A B C, \therefore D E \perp A A_{1}$．
又因为 $A C, A A_{1}$ 在平面 $A C C_{1} A_{1}$ 内，且 $A C$ 与 $A A_{1}$ 相交，
所以 $D E \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$．
由 $A B=A C=2, \angle B A C=120^{\circ}$，有 $A D=1, \angle D A C=60^{\circ}$，
所以在 $\triangle A C D$ 中，$D E=\frac{\sqrt{3}}{2} A D=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又 $S_{\triangle A Q G_{1}}=\frac{1}{2} A_{1} C_{1} \cdot A A_{1}=1$，所以
$V_{A_{1}-Q C_{1} D}=V_{D-Q C_{1} A_{1}}=\frac{1}{3} D E \cdot S_{\Delta Q C_{1} A_{1}}=\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 1=\frac{\sqrt{3}}{6}$．
因此三棱锥 $A_{1}-Q C_{1} D$ 的体积是 $\frac{\sqrt{3}}{6}$．
【考点定位】本小题主要考查本作图、线面的平行与垂直、棱锥的体积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力．