2015_退役省自主命题 (2015·文)
19．如图，三棱锥 $P-A B C$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C, P A=1, A B=1, A C=2, \angle B A C=60^{\circ}$ ．
（I）求三棱锥 $P-A B C$ 的体积；
（II）证明：在线段 $P C_{\mathrm{s}}$ 上存在点 $M$ ，使得 $A C \perp B M$ ，并求 $\frac{P M}{M C}$ 的值．
第（19）题图
【答案】（I）$\frac{\sqrt{3}}{6}$（II）$\frac{P M}{M C}=\frac{1}{3}$
## 【解析】
（I）解：由题设 $A B=1, A C=2, \angle B A C=60^{\circ}$
可得 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
由 $P A \perp$ 面 $A B C$
可知 $P A$ 是三棱锥 $P-A B C$ 的高，又 $P A=1$
所以三棱锥 $P-A B C$ 的体积 $V=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle A B C} \cdot P A=\frac{\sqrt{3}}{6}$
（II）证：在平面 $A B C$ 内，过点 $B$ 作 $B N \perp A C$ ，垂足为 $N$ ，过 $N$ 作 $M N / / P A$ 交 $P C$ 于 $M$ ，连接 $B M$ ．
由 $P A \perp$ 面 $A B C$ 知 $P A \perp A C$ ，所以 $M N \perp A C$ ．由于 $B N \cap M N=N$ ，故 $A C \perp$ 面 $M B N$ ，又 $B M \subset$ 面 $M B N$ ，所以 $A C \perp B M$ ．
在直角 $\triangle B A N$ 中，$A N=A B \cdot \cos \angle B A C=\frac{1}{2}$ ，从而 $N C=A C-A N=\frac{3}{2}$ ．由 $M N / / P A$ ，得 $\frac{P M}{M C}=\frac{A N}{N C}=\frac{1}{3}$.
【考点定位】本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理。
【名师点睛】本题将正弦定理求三角形的面积巧妙地结合到求锥体的体积之中，本题的第（II）问需要学生构造出线面垂直，进而利用性质定理证明出面面垂直，本题考查了考生的空间想象能力、构造能力和运算能力。