已知 9^ m =10, a=10^ m -11, b=8…——2022 高考数学第 12 题答案解析

【答案】A

【解析】

【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 $m=\log _{9} 10>1$ ，再利用基本不等式，换底公式可得 $m>\lg 11, ~ \log _{8} 9>m$ ，然后由指数函数的单调性即可解出．

【详解】由 $9^{m}=10$ 可得 $m=\log _{9} 10=\frac{\lg 10}{\lg 9}>1$ ，而
$\lg 9 \lg 11<\left(\frac{\lg 9+\lg 11}{2}\right)^{2}=\left(\frac{\lg 99}{2}\right)^{2}<1=(\lg 10)^{2}$ ，所以 $\frac{\lg 10}{\lg 9}>\frac{\lg 11}{\lg 10}$ ，即 $m>\lg 11$ ，所以
$a=10^{m}-11>10^{\lg 11}-11=0$.
又 $\lg 8 \lg 10<\left(\frac{\lg 8+\lg 10}{2}\right)^{2}=\left(\frac{\lg 80}{2}\right)^{2}<(\lg 9)^{2}$ ，所以 $\frac{\lg 9}{\lg 8}>\frac{\lg 10}{\lg 9}$ ，即 $\log _{8} 9>m$ ，
所以 $b=8^{m}-9<8^{\log _{8} 9}-9=0$ ．综上，$a>0>b$ ．
故选：A．