2022 全国甲卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．设集合 $A=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\left\{x \left\lvert\, 0 \leq x<\frac{5}{2}\right.\right\}$ ，则 $A \cap B=$

2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：  则（ ）

3．若 $z=1+\mathrm{i}$ ．则 $|\mathrm{i} z+3 \bar{z}|=$（ ）

4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该多面体的体积为   

5．将函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0)$ 的图像向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度后得到曲线 $C$ ，若 $C$ 关于 $y$ 轴对称，则 $\omega$ 的最小值是（ ）

6．从分别写有 $1,2,3,4,5,6$ 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率为

7．函数 $y=\left(3^{x}-3^{-x}\right) \cos x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 的图象大致为

8．当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 ，则 $f^{\prime}(2)=~()$

9．在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $B_{1} D$ 与平面 $A B C D$ 和平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成的角均为 $30^{\circ}$ ，则（）

10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 $2 \pi$ ，侧面积分别为 $S_{\text {甲 }}$ 和 $S_{\text {乙 }}$ ，体积分别为 $V_{\text {甲 }}$ 和 $V_{\text {乙 }}$ ．若 $\frac{S_{\text {甲 }}}{S_{\text {乙 }}}=2$ ，则 $\frac{V_{\text {甲 }}}{V_{\text {乙 }}}=$（ ）

11．已知随圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{3}, A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右顶点，$B$ 为 $C$ 的上顶点．若 $\overrightarrow{B A_{1}} \cdot \overrightarrow{B A_{2}}=-1$ ，则 $C$ 的方程为

12．已知 $9^{m}=10, a=10^{m}-11, b=8^{m}-9$ ，则（ ）

13．已知向量 $\vec{a}=(m, 3), \vec{b}=(1, m+1)$ ．若 $\vec{a} \perp \vec{b}$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

14．设点 $M$ 在直线 $2 x+y-1=0$ 上，点 $(3,0)$ 和 $(0,1)$ 均在 $\odot M$ 上，则 $\odot M$ 的方程为 $\_\_\_\_$ ．

15．记双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $e$ ，写出满足条件＂直线 $y=2 x$ 与 $C$ 无公共点＂的 $e$ 的一个值 $\_\_\_\_$ ．

16．已知 $\triangle A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，$\angle A D B=120^{\circ}, A D=2, C D=2 B D$ ．当 $\frac{A C}{A B}$ 取得最小值时， $B D=$ $\_\_\_\_$ ．

17．甲、乙两城之间的长途客车均由 $A$ 和 $B$ 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的 500 个班次，得到下面列联表： | | 准点班次数 | 未准点班次数 | | :--- | :--- | :--- | | $A$ | 240 | 20 | | B | 210 | 30 | （1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； （2）能否有 $90 \%$ 的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ ， | $P\left(K^{2} \ldots k\right)$ | 0.100 | 0.050 | 0.010 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $k$ | 2.706 | 3.841 | 6.635 |

18．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $\frac{2 S_{n}}{n}+n=2 a_{n}+1$ ． （1）证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列； （2）若 $a_{4}, a_{7}, a_{9}$ 成等比数列，求 $S_{n}$ 的最小值．

19．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 $A B C D$ 是边长为 8 （单位： cm ）的正方形，$\triangle E A B, \triangle F B C, \triangle G C D, \triangle H D A$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $A B C D$ 垂直。  （1）证明：$E F / /$ 平面 $A B C D$ ； （2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

20．已知函数 $f(x)=x^{3}-x, g(x)=x^{2}+a$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 处的切线也是曲线 $y=g(x)$ 的切线． （1）若 $x_{1}=-1$ ，求 $a$ ； （2）求 $a$ 的取值范围．

21．设抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $D(p, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点．当直线 $M D$垂直于 $x$ 轴时，$|M F|=3$ ． （1）求 $C$ 的方程； ②设直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ，记直线 $M N, A B$ 的倾斜角分别为 $\alpha, \beta$ 。当 $\alpha-\beta$取得最大值时，求直线 $A B$ 的方程．

22．在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2+t}{6} \\ y=\sqrt{t}\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 $ \left\{\begin{array}{l} x=-\frac{2+s}{6} \\ y=-\sqrt{s} \end{array} \text { ( } s\right. \text { 为参数). } $ （1）写出 $C_{1}$ 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $2 \cos \theta-\sin \theta=0$ ，求 $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 交点的直角坐标，及 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标．

23．已知 $a, b, c$ 均为正数，且 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=3$ ，证明： ①$a+b+2 c \leq 3$ ； （2）若 $b=2 c$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geq 3$ ．