2013_上海卷 (数学)
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数 )sin(2)(fxx，其中常数ω＞0.
（1）令ω=1，判断函数 2)()(xfxfxF的奇偶性，并说明理由；
（2）令ω=2，将函数$y=f(x)$的图像向左平移
6个单位，再向上平移1个单位，得到函数$y=g($
x)的图像.对任意a∈R，求$y=g(x)$在区间[a，a+10π]上零点个数的所有可能值.
(1) 函数。不是奇函数，也不是偶; (2) 20,21
【答案】 （1） 函数。不是奇函数，也不是偶
（2） 20,21
【解析】 （1）
)2sin(2sin2)2()()(,sin2)(1 xxxfxfxFxxf时，是奇函数，周期xyTxxx sin22,22),4sin(22cos2sin2 是偶函数。，即不是奇函数，也不后得图像左移)4sin(22)(4xxf
（2）ω=2，将函数$y=f(x)$的图像向左平移
6个单位，再向上平移1个单位，得到函数$y=g(x)$:
Txxfxgxxf 最小正周期,1)6(2sin21)6()(,2sin2)( .
个零点。个零点，最少在一个周期内最多有令2321)6(2sin0)(xxf
所以$y=g(x)$在区间[a, a+10π]、其长度为10个周期上，零点个数可以取20,21个