2013_退役省自主命题 (2013·理)
16．设函数 $f(x)=a^{x}+b^{x}-c^{x}$，其中 $c>a>0, c>b>0$．
（1）记集合 $M=\{(a, b, c) \mid a, b, c$ 不能构成一个三角形的三条边长，且 $a=\mathrm{b}\}$，则 $(a, b, c) \in M$ 所对应的 $f(x)$ 的零点的取值集合为 $\_\_\_\_$。
（2）若 $a, b, c$ 是 $\triangle A B C$ 的三条边长，则下列结论正确的是 $\_\_\_\_$．（写出所有正确结论
的序号）
（1）$\forall x \in(-\infty, 1), f(x)>0$；
②$\exists x \in R$，使 $x a^{x}, b^{x}, c^{x}$ 不能构成一个三角形的三条边长；
（3）若 $\triangle A B C$ 为钝角三角形，则 $\exists x \in(1,2)$，使 $f(x)=0$．
(1) $(0,1]$; (2) ①②
【答案】①$(0,1]$；②①②③；
【解析】（1）因为 $\mathrm{a}=\mathrm{b}$，所以 $a+b=a+a \leq c$，即 $c \geq 2 a$，此时令 $f(x)=2 a^{x}-c^{x}=0,\left(\frac{c}{a}\right)^{x}=2$，做出图像可知 $x \in(0,1]$，当且仅当 $a=c$ 时 $x$ 取到 1；
（2）对于①，$f(x)$ 在 $(-\infty, 1)$ 上为减函数，所以 $\forall x \in(-\infty, 1), f(x)>f(1)=a+b-c>0$ 对于 ②，不妨令 $a=b=1, c=1.9, x=2$，此时，其不等构成三角形的三条边；对于③， $f(1) \cdot f(2)=(a+b-c)\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)$，因为钝角三角形，所以 $a^{2}+b^{2}<c^{2}$，所以 $f(1) \cdot f(2)<0$，
故③正确
【考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力．
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