在直角坐标系 x O y 中，曲线 C 的参数方程为 ar…——2022 高考数学第 22 题答案解析

【答案】①$\sqrt{3} x+y+2 m=0$
②$\left[-\frac{19}{12}, \frac{5}{2}\right]$

## 【解析】

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
**方法一**：联立 $l$ 与 $C$ 的方程，采用换元法处理，根据新设 $a$ 的取值范围求解 $m$ 的范围即可．

## 【小问 1 详解】

因为 $l: \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+m=0$ ，所以 $\frac{1}{2} \rho \cdot \sin \theta+\frac{\sqrt{3}}{2} \rho \cdot \cos \theta+m=0$ ，
又因为 $\rho \cdot \sin \theta=y, \rho \cdot \cos \theta=x$ ，所以化简为 $\frac{1}{2} y+\frac{\sqrt{3}}{2} x+m=0$ ，
整理得 $l$ 的直角坐标方程：$\sqrt{3} x+y+2 m=0$

## 【小问 2 详解】

**方法一**：【最优解】参数方程

联立 $l$ 与 $C$ 的方程，即将 $x=\sqrt{3} \cos 2 t, y=2 \sin t$ 代入 $\sqrt{3} x+y+2 m=0$ 中，

可得 $3 \cos 2 t+2 \sin t+2 m=0 \Rightarrow 3\left(1-2 \sin ^{2} t\right)+2 \sin t+2 m=0$ ，

化简为 $-6 \sin ^{2} t+2 \sin t+3+2 m=0$ ，

要使 $l$ 与 $C$ 有公共点，则 $2 m=6 \sin ^{2} t-2 \sin t-3$ 有解，
令 $\sin t=a$ ，则 $a \in[-1,1]$ ，令 $f(a)=6 a^{2}-2 a-3,(-1 \leqslant a \leqslant 1)$ ，
对称轴为 $a=\frac{1}{6}$ ，开口向上，
$\therefore f(a)_{\text {max }}=f(-1)=6+2-3=5$ ，
$f(a)_{\min }=f\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}-3=-\frac{19}{6}$ ，
$\therefore-\frac{19}{6} \leq 2 m \leq 5$ ，即 $m$ 的取值范围为 $\left[-\frac{19}{12}, \frac{5}{2}\right]$ ．

**方法二**：直角坐标方程

由曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \cos 2 t \\ y=2 \sin t\end{array}, t\right.$ 为参数，消去参数 $t$ ，可得 $y^{2}=-\frac{2 \sqrt{3}}{3} x+2$ ，

联立 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3} x+y+2 m=0 \\ y^{2}=-\frac{2 \sqrt{3}}{3} x+2\end{array}\right.$ ，得 $3 y^{2}-2 y-4 m-6=0(-2 \leq y \leq 2)$ ，即 $4 m=3 y^{2}-2 y-6=3\left(y-\frac{1}{3}\right)^{2}-\frac{19}{3}$ ，即有 $-\frac{19}{3} \leq 4 m \leq 10$ ，即 $-\frac{19}{12} \leq m \leq \frac{5}{2}, \therefore m$ 的取值范围是 $\left[-\frac{19}{12}, \frac{5}{2}\right]$ ．
**方法一**：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的最优解；
**方法二**：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域，与方法一本质上差不多，但容易忽视 $y$ 的范围限制而出错．